Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Correction Exercice 2

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Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

    1. Proposition 1 Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.
    2. C'est faux car tout suite croissante majorée est convergente donc a une limite finie (c'est le théorème de la croissance majorée).

 

      Donc on peut trouver une suite positive croissante qui converge, par exemple la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$.

Proposition fausse.

    1. $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par \[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]
      Proposition 2
      Sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$.



      sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $$\dfrac{\text{e} - 1}{2}$.

 

      $$g(x)=0 \iff 2x \ln(2x+1) = 2x \iff 2x\left (\ln(2x+1) - 1\right ) = 0 \iff 2x=0 \text{ ou } \ln(2x+1) - 1=0 $$

 

      $$g(x)=0\iff x=0 \text{ ou } \ln(2x+1)=1 \iff x=0 \text{ ou } 2x + 1=\,\text{e}$$

 

      $$g(x)=0\, \iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{\,\text{e}\, - 1}{2}$$ $g(x)=2x\ln(2x+1)$ donc $g(0)=0$; l'équation $g(x)=2x$ admet aussi pour solution $x=0$ donc:

proposition fausse.

    1. Proposition 3 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$.
    2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est $g'\left (\dfrac{1}{2}\right )$. $g'(x)=2\ln(2x+1) + 2x \times \dfrac{2}{2x+1}$ donc $g'\left(\dfrac{1}{2}\right )=2\ln 2 + 1$; or $2\ln 2 = \ln 2^2=\ln 4$ donc le coefficient directeur de la tangente est égal à $1+\ln 4$.

Proposition vraie.

    1. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{i}, \vec{k}\right)$. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et $x + y + 5z - 11 = 0$.
      Proposition 4 Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement.
    2. Le plan $\mathcal P$ d'équation $2x+3y-z-11=0$ a pour vecteur normal $\vec{n_{\mathcal P}}(2\:; 3\:; -1)$.

 

      Le plan $\mathcal R$ d'équation $x+y+5z-11=0$ a pour vecteur normal $\vec{n_{\mathcal R}}(1\:; 1\:; 5)$.

 

      Le produit scalaire de ces deux vecteurs est $2\times 1 + 3 \times 1 + (-1)\times 5 = 0$

 

      donc les deux vecteurs sont orthogonaux et donc les deux plans $\mathcal P$ et $\mathcal R$ se coupent perpendiculairement.

Proposition vraie.

 

Exercice 3
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