Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée des connaissances

L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0 ;  1[,

il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} < X < \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par
\[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\] Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0 ; + \infty[$ par
\[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t) \text{d}t.\]

1. Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ?
La fonction $f$ représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite.
2. Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
$H(0)=\displaystyle\int_0^0f(t)\text{d} t = 0$; et d'après le cours $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} H(x)=1$.
3. À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,  H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \text{d}t$.
D'après la relation de Chasles: $\displaystyle\int_{-x}^{x}f(t)\text{d} t = \displaystyle\int_{-x}^{0}f(t)\text{d} t + \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\text{d} t$.

Mais la fonction $f$ est positive donc $\displaystyle\int_{-x}^{0}f(t)\text{d} t$ est l'aire du domaine hachuré en rouge sur la figure ci-dessous, tandis que $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\text{d} t$ est l'aire du domaine hachuré en bleu.

De plus la fonction $f$ est paire, donc ces deux aires sont égales.

Enfin $H(x)$ est l'aire du domaine situé sous la courbe représentant $f$ hachuré en rouge et en bleu sur la figure.

Donc $H(x)= \displaystyle\int_{-x}^{x}f(t)\text{d} t = \displaystyle\int_{-x}^{0}f(t)\text{d} t + \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\text{d} t = 2 \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\text{d} t$.
1. En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0 ; + \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0 ; + \infty[$.
On sait que la fonction $x \longmapsto \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \text{d} t$ a pour dérivée la fonction $f$; donc la fonction $H$ définie par $H(x)=2 \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \text{d} t$ a pour dérivée la fonction $2f$.

Or $f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} {\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}}} > 0$ sur $\mathbb{R}$; comme $H'=2f$, $H'(x)>0$ pour tout réel $x$, et donc la fonction $H$ est strictement croissante sur $[0\:; +\infty[$.

On établit le tableau de variations de $H$ sur $[0\:; +\infty[$:

1. Démontrer alors le théorème énoncé.
D'après le tableau de variations, il existe un réel strictement positif unique noté $\chi_\alpha$ tel que $H\left (\chi_\alpha\right ) = 1-\alpha$, donc tel que $P\left (-\chi_\alpha \leq X \leq \chi_\alpha\right ) = 1-\alpha$. Précisons :

$$\left.\begin{array}{ll} &\bullet \quad H \text{ est continue sur } I=[0;+\infty[ \text{ (elle est dérivable sur )} I ;\\ &\bullet \quad f \text{ est strictement croissante sur } I ;\\ &\bullet \quad H(0)=0 ;\\ &\bullet \quad \lim\limits_{x \to 0^+} H(x)=1.\\\end{array}\right\}$$ En appliquant le théorème de la bijection sur $[0;+\infty[$ :

donc $H$ réalise une bijection de $[0;+\infty[$ sur $[0;1[$. Comme $1-\alpha \in [0;1[$ l'équation $H(x)=1-\alpha$ admet une unique solution $\chi_{\alpha}$ dans $I$

Partie B
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B. 60 % des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6 % des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.

Dans le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

• $A$ l'évènement : «La pipette est fournie par l'entreprise A » ;
• $B$ l'évènement : «La pipette est fournie par l'entreprise B » ;
• $D$ l'évènement : «La pipette a un défaut ».

 

1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A ?
La pipette choisie au hasard présente un défaut; la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A est $P_D(A)$.

$P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} = \dfrac{0,6 \times 0,046}{0,05} = 0,552$
1. Montrer que $p(B \cap D) = 0,0224 $.
D'après la formule des probabilités totales: $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D) \iff 0,05 = 0,6\times 0,046 + P(B\cap D) \iff 0,05 - 0,0276 = P(B\cap D)$

Donc $P(B\cap D)=0,0224$. .
1. Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ?
Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, la probabilité qu'une pipette présente un défaut est $P_B(D)$.

Or $P(B)=1-P(A)=1-0,6=0,4$. $P_B(D) = \dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} = \dfrac{0,0224}{0,4} = 0,056$.

Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, le pourcentage de pipettes présentant un défaut est donc de $5,6\%$

Partie C
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = 1,0424 $.

 

1. Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Contenance } x \text{ (en mL)}& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline P(X \leqslant x) \left(\text{arrondi à } 10^{- 5}\right)&0,00000 &0,00004 &0,00165 &0,02506&0,16368\\ \hline\hline \text{ Contenance } x \text{ (en mL)}&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline P(X \leqslant x) \left(\text{arrondi à } 10^{- 5}\right) &0,5 &0,83632 &0,97494 &0,99835 &0,99996\\ \hline \end{array}$$
On cherche la probabilité qu'une pipette prise au hasard soit conforme, soit $P(98 < X<102)$, en sachant que $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=100$ et $\sigma^2=1,0424$.

À la calculatrice, on trouve $0,9499$ à $10^{-4}$ près.

En utilisant la table fournie: $P(98<X<102) = P(X<102) - P(X \leq 98) \approx0,97494 -0,02506 \approx 0,94988$

Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$.
1. Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $100$.
   On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
   Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon.
   1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ?
   Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire $Y_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n \geq 100$ et $p=0,05$.
   2. Vérifier que $n \geqslant 30,  np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$.
   On sait que $n \geq 100$ donc $n\geq 30$. $n \geq 100$ et $p=0,05$ donc $np \geq 100\times 0,05 \iff np \geq 5$ $p=0,05$ donc $1-p=0,95$; $n(1-p) \geq 100\times 0,95 \iff n(1-p) \geq 95$ et donc $n(1-p) \geq 5$. Les trois conditions sont vérifiées.
   3. Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
   Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% est: $$\left[ p- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle\sqrt{n}} \right]$$ Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des pipettes non conformes dans un échantillon est: $$\begin{array}{ll}\\ I &=\left[ 0,05- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,05\left(1-0,05\right)}}{\displaystyle \sqrt{n}}\:;\: 0,05 + 1,96\dfrac{\displaystyle \sqrt{0,05\left(1-0,05\right)}}{\displaystyle\sqrt{n}} \right] \\ &=\left[ 0,05- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,0475}}{\displaystyle \sqrt{n}}\:;\: 0,05 + 1,96\dfrac{\displaystyle \sqrt{0,0475}}{\displaystyle\sqrt{n}} \right]\\ \end{array}$$