Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit \(\Delta\) une droite de vecteur directeur \(\vec{v}\) et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D\(_{1}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{1}}\) et la droite D\(_{2}\) de vecteur directeur \(\vec{u_{2}}\). Montrer que \(\Delta\) est orthogonale à toute droite de P si et seulement si \(\Delta\) est orthogonale à D\(_{1}\) et à D\(_{2}\).

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\]On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle \(\Delta\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.\) avec \(t\) appartenant à \(\mathbb{R}\). Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Affirmation 1 : \(\Delta\) est orthogonale à toute droite du plan P.
  2. Affirmation 2 : les droites \(\Delta\) et (AB) sont coplanaires.
  3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).
  4. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur \(\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)\).
    Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation \(x + 3y - 2z + 5 = 0\).

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