Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013

Exercice 4 : 5 points


Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite  \((u_n)\) définie par \(u_0=\dfrac{1}{2}\) et telle que pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

    1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
    2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_n\).
  1. On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n<1\).
    1. Démontrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.
    2. Démontrer que la suite \(\left(u_n\right)\) converge.
  2. Soit \(\left(v_n\right)\) la suite définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\).
    1. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 3.
    2. Exprimer pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\).
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}\).
    4. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

 

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