Limites de suites - Exercices TaleS

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Exercice 1
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 + n - 1$. Exprimer en fonction de n :

1. 1. $u_{n-1}$
   2. $u_{n+1}$
   3. $u_{n+1} - u_n$
2. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ?
3. Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?

 

Exercice 2
Dans chaque cas préciser si la suite $(u_n)$ est arithmétique, géométrique, ou ni l’un ni l’autre. Exprimer alors, lorsque cela est possible, $u_n$ en fonction de $n$.

1. . Pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n = n^2$.
2. $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n - 5$.
3. Pour tout $n\in \mathbb{N} , u_n =\dfrac{2n^2 + 5n + 3}{n + 1}.$
4. Pour tout $n \in \mathbb{N} , u_n =\dfrac{3^{2n+1}}{2n}$
5. $u_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = -\dfrac{2}{3}u_n + 4$.

Exercice 3
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n =\dfrac{n + 1}{n^2 + 1}$.

1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$.
2. Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de $(u_n)$.
3. Calculer $u_{10}, u_{100}, u_{10 000} , u_{108}$ et $u_{1016}$.
Que peut-on dire des valeurs de un lorsque $n$ devient de plus en plus grand ?

Exercice 4
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par

1. $u_n =\dfrac{n^2 - 1}{n^2 + 1}.$
2. $u_n = 3n^2 + 4n - 5.$
3. $ u_n = -n^3 + 6n^2 - 9n + 5.$

Exercice 5
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{1}{u_n}+ 1$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$.
Tracer $C_f$ et placer $u_0, u_1, u_2, u_3$ et $u_4$ sur l’axe des abscisses.

Exercice 6
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{3u_n}{3 + 2u_n}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n =\dfrac{3}{u_n}$.

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
2. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction $n$.

Exercice 7
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{2}{3}u_n -\dfrac{1}{6}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n = 2u_n + 1.$

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
2. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction $n$

Exercice 8
Soit la suite $v$ définie par $v_0 = 2$, puis pour tout entier $n, v_{n+1 }= 1 +\dfrac{1}{v_n}$.
Montrer que pour tout entier naturel $n,\dfrac{3}{2}\leq v_n\leq 2$