Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.
Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne.

1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ;  +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
   1. Justifier que $\lambda = 0,1$.
   2. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
   3. Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première annéeb? Justifier.
   4. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier.
2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$.
   1. Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
   2. Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
3. Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.