Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2015.

Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015

Exercice 1 un QCM :5 points


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

  1. On considère l'arbre de probabilités ci-contre : Quelle est la probabilité de l'événement B ?
    1. 0,2
    2. 0,12
    3. 0,24
    4. 0,5
  2. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite. Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ?
    1. [0,371;0,637]
    2. [0,480;0,523]
    3. [0,402;0,598]
    4. [0,412;0,695]
    1. Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.
      Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ?
    2. 0,125
    3. 0,25
    4. 0,75
    5. 0,875
    1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma = 25$. Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ?
    2. 0,159
    3. 0,317
    4. 0,683
    5. 0,841
    1. Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95 %, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05. Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?
    2. 400
    3. 800
    4. 1600
    5. 3200

 


Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

  1. On considère l'arbre de probabilités ci-contre : Quelle est la probabilité de l'événement B ?
    1. 0,2
    2. 0,12
    3. 0,24
    4. 0,5
  2. Question 1 : Réponse C

    D’après la propriété des probabilités totales, on a :

    $$\begin{align*} p(B)&= p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B\right) \\\\
    &= 0,6 \times 0,2 + (1-0,6)\times 0,3 \\\\
    &= 0,24
    \end{align*}$$

    $\quad$

  3. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite. Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ?
    1. [0,371;0,637]
    2. [0,480;0,523]
    3. [0,402;0,598]
    4. [0,412;0,695]
  4. Question 2 : Réponse C

    On a $p=0,5$ et $n=100$. Par conséquent $n \ge 30$, $np = n(1-p)=50\ge 5$

    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

    $$\begin{align*} I_{100} &= \left[0,5 – 1,98\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{100}};0,5 + 1,98\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{100}} \right] \\\\
    &=[0,401;0,599]
    \end{align*}$$

    $\quad$

    1. Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.
      Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ?
    2. 0,125
    3. 0,25
    4. 0,75
    5. 0,875
  5. Question 3 : Réponse B

    On veut calculer $P(T\ge 60) = \text{e}^{-\ln(2)/30\times 60} = 0,25$

    $\quad$

    1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma = 25$. Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ?
    2. 0,159
    3. 0,317
    4. 0,683
    5. 0,841
  6. Question 4 : Réponse A

    $P(X \ge 135) = 0,5 – P(110 \le X \le 135) \approx 0,159$

    $\quad$

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    1. Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95 %, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05. Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?
    2. 400
    3. 800
    4. 1600
    5. 3200
  7. Question 5 : Réponse C

    Un intervalle de confiance est donné par :$\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

    Par conséquent son amplitude est de $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,05$ soit $\dfrac{\sqrt{n}}{2} \ge 20$ et $n \ge 1~600$.

    $\quad$


Exercice 2 : 7 points


Commun à tous les candidats

Correction de l'exercice 2 (7 points)


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ telle que : $$f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}$$ On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, à rendre avec la copie .

Partie A

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_0^n f(x)\:\text{d}x$.
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.

  1. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
  2. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,$\text{e}^x - x \geqslant \dfrac{\text{e}^x}{2}$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \displaystyle\int_0^n 2x \text{e}^{- x}\:\text{d}x$.
    2. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que : \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\] Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$.
  3. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont

$$ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{Entrée : } & \text{Saisir } K \text{entier naturel non nul}\\ \hline \text{Initialisation} & \text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } 0\\ &\text{Affecter à } h \text{  la valeur } \dfrac{1}{K}\\[7pt] \hline \text{Traitement } &\text{Pour } i \text{variant de 1 à } K\\ &\hspace{0,4cm}\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A + h \times f(x)\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + h\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour} \\ \hline \text{ Sortie } &\text{Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

  1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.
  2. $$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline i & A & x\\ \hline 1 & &\\ \hline 2 & &\\ \hline 3 & &\\ \hline 4 & &\\ \hline \end{array} $$
  3. En l'illustrant sur l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.
  4. Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?

ANNEXE Exercice 2

À rendre avec la copie
Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0;6]

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0;1]


Correction de l'exercice 2 (7 points)


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ telle que : $$f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}$$ On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, à rendre avec la copie .

Partie A

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_0^n f(x)\:\text{d}x$.
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.

  1. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
  2. Pour montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante, on va étudier le signe de $I_{n+1} – I_n$.
    $$\begin{align*} I_{n+1} – I_n &= \int_0^{n+1} f(x) \mathrm{d}x- \int_0^n \mathrm{d}x \\\\
    &= \int_n^{n+1} f(x)\mathrm{d}x
    \end{align*}$$
    Puisque la fonction $f$ est positive sur $[0;+\infty[$, on a alors $\displaystyle \int_n^{n+1} f(x)\mathrm{d}x > 0$.
    La suite $\left(I_n\right)$ est bien croissante.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,$\text{e}^x - x \geqslant \dfrac{\text{e}^x}{2}$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \displaystyle\int_0^n 2x \text{e}^{- x}\:\text{d}x$.
    2. Sur $[0;+\infty[$, $\text{e}^x-x \ge \dfrac{e^x}{2} \ge 0$ donc $\dfrac{1}{\text{e}^x-x} \le \dfrac{2}{\text{e}^x}$ et $\dfrac{x}{\text{e}^x-x} \le \dfrac{2x}{\text{e}^x}$ (cette dernière inégalité est due au fait que $x \ge 0$).
      $$\begin{align*} I_n &=\int_0^n \dfrac{x}{\text{e}^x-x}\mathrm{d}x \\\\
      & \le \int_0^n \dfrac{2x}{\text{e}^x}\mathrm{d}x \\\\
      & \le \int_0^n 2x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x
      \end{align*}$$
      $\quad$
    3. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que : \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\] Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.
    4. D’après l’énoncé $H$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
      $\begin{align*} H'(x) &= -\text{e}^{-x} – (-x-1)\text{e}^{-x} \\\\
      &=-\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\\
      &= x\text{e}^{-x}
      \end{align*}$
      $\quad$
    5. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$.
    6. Par conséquent une primitive de $x \mapsto 2x\text{e}^{-x}$ est $2H$.
      Ainsi :
      $$\begin{align*} \int_0^n 2x\text{e}^{-x}\mathrm{d}x &= \left[2H(x)\right]_0^n \\\\
      &= 2(-n-1)\text{e}^{-n} -2(-1) \\\\
      &= 2 – 2(n+1)\text{e}^{-n} \\\\
      & \le 2
      \end{align*}$$
      Car $-2(n+1)\text{e}^{-x}<0$.
      Par conséquent $I_n \le 2$.
      $\quad$
  4. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  5. La suite $\left(I_n\right)$ est croissante et majorée par $2$; elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont

$$ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{Entrée : } & \text{Saisir } K \text{entier naturel non nul}\\ \hline \text{Initialisation} & \text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } 0\\ &\text{Affecter à } h \text{  la valeur } \dfrac{1}{K}\\[7pt] \hline \text{Traitement } &\text{Pour } i \text{variant de 1 à } K\\ &\hspace{0,4cm}\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A + h \times f(x)\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + h\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour} \\ \hline \text{ Sortie } &\text{Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

  1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.
  2. $$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline i & A & x\\ \hline 1 & &\\ \hline 2 & &\\ \hline 3 & &\\ \hline 4 & &\\ \hline \end{array} $$ $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    i&A&x\\
    \hline
    1&0&0,25 \\
    \hline
    2&0,060&0,5\\
    \hline
    3&0,169&0,75\\
    \hline
    4&0,306&1\\
    \hline
    \end{array}$$
  3. En l'illustrant sur l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.

  4. L’algorithme nous fournit l’aire des rectangles dessinés.
  5. Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?

ANNEXE Exercice 2

À rendre avec la copie
Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0;6]

Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0;1]


Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi la spécialité


Espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
    1. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
    2. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
  2. Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
    Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
  3. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
    1. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
    2. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
    1. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
    2. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.

 


Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
    1. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
    2. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{AB}(-2;1;0)$.
      Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
      $$\begin{cases} x=-2k\\\\y=1+k \qquad k\in \mathbb R\\\\z=-1\end{cases}$$
      $\quad$ Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;1;-1)$
      Or $\dfrac{-2}{1} \ne \dfrac{1}{1}$
      Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ ne sont pas colinéaires.
      Les droites $(AB)$ et $\mathscr{D}$ ne sont pas parallèles.
      $\quad$
    3. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
    4. Si les deux droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d’intersection sont solutions des deux représentations paramétriques.
      On doit donc résoudre :
      $$\begin{cases} -2k=-2+t \\\\1+k = 1+t \\\\-1=-1-t \end{cases} =\begin{cases} t=0\\\\k=1\\\\k=0 \end{cases}$$
      Ceci est impossible. Les deux droites ne sont donc pas sécantes.
      $\quad$
  2. Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
    Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
  3. Un vecteur directeur de $\mathscr{P}$ est $\vec{v}(1;1;-1) = \vec{u}$.
    Le plan est donc orthogonal à la droite $\mathscr{D}$.
    $-2+u+1+u-(-1-u)-3u = -2 +u+1+u+1+u-3u=0$.
    Le point $M$ appartient bien au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  4. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
  5. $-4+6u + 3-3u-(-1)-3u = -4 +6u+3-3u+1-3u=0$. Le point $N$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
    En prenant $k=2-3u$ dans la représentation paramétrique de $(AB)$ on retrouve les coordonnées de $N$. Ce point appartient donc également à $(AB)$.
    Les coordonnées du point $A$ ne vérifient pas clairement l’équation de $\mathscr{P}$.
    Par conséquent la droite $(AB)$ n’est pas incluse dans $\mathscr{P}$ et le point $N$ est bien le point d’intersection de $(AB)$ et $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    1. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
    2. On a $\vec{MN}(-2+5u;2-4u;u)$.
      Par conséquent $\vec{MN}.\vec{u} = (-2+5u) \times 1 + (2-4u) \times 1 + u \times(-1) = -2+5u+2-4u-u=0$.
      Donc $(MN)$ et $\mathscr{D}$ sont orthogonales.
      Or le point $N$ appartient aux deux droites; elles sont donc perpendiculaires.
      $\quad$
    3. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
    4. $\vec{AB}.\vec{MN} = -2(-2+5u)+1\times(2-4u) = 4-10u+2-4u=6-14u$.
      Ces deux droites sont orthogonales si, et seulement si, $6-14u=0$ c’est-à-dire $u=\dfrac{7}{3}$.
      Puisque le point $N$ appartient également à ces deux droites, elles sont perpendiculaires si $u=\dfrac{7}{3}$.
      $\quad$
    1. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.

    2. $\begin{align*} MN^2 &= (-2+5u)^2+(2-4u)^2+u^2\\\\
      &=4-20u+25u^2+4-16u+16u^2+u^2\\\\
      &=8-36u+42u^2
      \end{align*}$
      $\quad$
    3. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
    4. La distance $MN$ est minimale si $MN^2$ est minimale.
      Or $8-36u+42u^2$ est une expression du second degré minimale pour $u=\dfrac{36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$.
      $\quad$

 


Exercice 4 : 3 points

 


Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

  1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.
  2. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
    • K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
    1. Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.
    2. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?

Correction de l'exercice 4 : 3 points


Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

  1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.
  2. Il n’y a que dans la situation 2 que le signe de $\mathscr{C}_f$ correspond aux variations de $\mathscr{C}_F$.
    $\quad$
  3. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
    • K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
    1. Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.
    2. L’aire de ce domaine est d’environ $0,5 \times 1 = 0,5$ u.a.
      $\quad$
    3. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
    4. Pour répondre à cette question, il faut être en mesure de déterminer la primitive dont une représentation graphique est fournie.
      Une primitive de $f$ est $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2} +C$.
      Une lecture graphique ne permet pas de déterminer précisément la valeur de $C$.
      Il n’est donc pas possible de fournir une valeur exacte de l’aire.
      $\quad$
      Remarque : Si on suppose que $F(1) = 0$ alors $C=0$ et $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2}=\ln(x)\left(1+\dfrac{\ln(x)}{2}\right)$.
      L’abscisse de $K$ vérifie donc $1+\ln x = 0$ soit $x=\text{e}^{-1}$.
      L’abscisse de $L$ vérifie donc $1 + \dfrac{\ln x}{2} = 0$ soit $x=\text{e}^{-2}$ ou $\ln x=0$ soit $x=1$.
      Or son abscisse est supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Par conséquent $x_L = 1$.
      Ainsi l’aire du domaine cherchée, puisque la fonction $f$ est positive et continue sur $\left[e^{-1};1\right]$ est :
      $$\begin{align*} I &= \int_{\text{e}^{-1}}^1 f(x) \mathrm{d}x \\\\
      &= F(1)-F(\text{e}^{-1})\\\\
      &= -\left(-1+\dfrac{(-1)^2}{2}\right) \\\\
      &= \dfrac{1}{2}
      \end{align*}$$

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A


On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.

  1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$. Trouver un tel couple.
  2. En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E).
  3. Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.
  4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&26q + 7m \\ k&=&15q +4m \end{array}\right.\:\text{où}\: q \in \mathbb Z.\]

Partie B


On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array} $$ On définit un système de codage :

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P. \medskip

  1. Coder le mot MATHS.
  2. Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.
    1. Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$.
    2. En déduire que $x = 7y + 3$ $\:\:$ (mod $26$).
    3. En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
  3. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. Décoder le mot WHL.
  4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A


On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.

  1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$. Trouver un tel couple.
  2. Les nombres $15$ et $26$ sont premiers entre eux. Par conséquent, d’après le théorème de Bezout, l’équation $15u-26v=1$ possède au moins un couple d’entiers solution.
    $7\times 15-26\times 4 = 1$.
    Un couple solution est donc $(7;4)$.
    $\quad$
  3. En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E).
  4. Une solution particulière de $(E)$ est donc $(7m;4m)$.
    $\quad$
  5. Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.
  6. Soit $(x;y)$ une autre solution de $(E)$.
    Par différence on a alors $15x-26k – (15x_0-26k_0)=0$ soit $15\left(x-x_0\right)-26\left(k-k_0\right)=0$.
    Réciproquement, si $(x;k)$ vérifie $15\left(x-x_0\right)-26\left(k-k_0\right)=0$.
    Alors $15x-26k=15x_0-26k_0=m$
    Donc $(x;k)$ est solution de $(E)$.
    $\quad$
  7. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&26q + 7m \\ k&=&15q +4m \end{array}\right.\:\text{où}\: q \in \mathbb Z.\]
  8. >Un couple solution $(x;k)$ vérifie donc $15\left(x-x_0\right)=26\left(k-k_0\right)$ c’est-à-dire $15(x-7m)=26(k-4m)$.
    $15$ et $26$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc $q\in \mathbb Z$ tel que :
    $\begin{cases} x-7m=26q \\\\k-4m=15q\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x=7m+26q\\\\k=4m+15q \end{cases}$
    Réciproquement, soit $q\in \mathbb Z$.
    $15(26q+7m)-26(15q+4m) = 105m-104m=m$.
    Le couple $(26q+7m;15q+4m)$ est donc solution de $(E)$.
    Par conséquent les solutions de $(E)$ sont les couples $(26q+7m;15q+4m)$ pour tout $z\in\mathbb Z$.
    $\quad$

Partie B


On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array} $$ On définit un système de codage :

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P. \medskip

  1. Coder le mot MATHS.
  2. MATHS est associé à $12-0-19-7-18$
    Ces nombres sont respectivement associés à $5-7-6-8-17$
    On obtient alors le mot FHGIR.
    $\quad$
  3. Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.
    1. Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$.
    2. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $15x+7=y+26k$ soit $15x-26k=y-7$.
      $\quad$
    3. En déduire que $x = 7y + 3$ $\:\:$ (mod $26$).
    4. On multiplie cette équation par $7$. On obtient alors $105x-182k=7y-49$.
      Par conséquent $x\equiv 7y+3 \quad$ mod $26$.
      $\quad$
    5. En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
    6. Pour décrypter une lettre il suffit :
      – d’associer à la lettre un nombre $y$ à l’aide du tableau
      – d’associer ensuite $y$ l’entier $x$ qui est le reste de la division euclidienne de $7y+3$ par $26$.
      – d’associer à $x$ la lettre correspondante.
      $\quad$
  4. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. Décoder le mot WHL.
  5. W est associé à $22$. $7\times 22 + 3 = 157 \equiv 1\quad$ mod $26$.
    Donc W est décodé en B.
    $\quad$
    H est associé à $7$. $7\times 7 + 3 = 52 \equiv 0\quad$ mod $26$.
    Donc H est décodé en A.
    $\quad$
    L est associé à $11$. $7\times 11 + 3 = 80 \equiv 2\quad$ mod $26$.
    Donc L est décodé en C.
    $\quad$
    Ainsi WHL est décodé en BAC.
    $\quad$
  6. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
  7. Supposons que qu’il existe deux lettres différentes codées par la même lettre.
    Il existe donc deux entiers naturels $x_1$ et $x_2$ tels que :
    $15x_1+7 \equiv 15x_2+7 \quad$ mod $26$.
    Donc $15\left(x_1-x_2\right) \equiv 0$ mod $26$.
    Puisque $15$ et $26$ sont premiers entre eux, $15\left(x_1-x_2\right) \equiv 0$ mod $26$ si, et seulement si, $x_1-x_2 \equiv 0 \quad$ mod $26$.
    Cela signifie donc que $x_1=x_2$.
    Par conséquent deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
    $\quad$