Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.

1. Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$. Trouver un tel couple.
Les nombres $15$ et $26$ sont premiers entre eux. Par conséquent, d’après le théorème de Bezout, l’équation $15u-26v=1$ possède au moins un couple d’entiers solution.
$7\times 15-26\times 4 = 1$.
Un couple solution est donc $(7;4)$.
$\quad$
2. En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E).
Une solution particulière de $(E)$ est donc $(7m;4m)$.
$\quad$
3. Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$.
Soit $(x;y)$ une autre solution de $(E)$.
Par différence on a alors $15x-26k – (15x_0-26k_0)=0$ soit $15\left(x-x_0\right)-26\left(k-k_0\right)=0$.
Réciproquement, si $(x;k)$ vérifie $15\left(x-x_0\right)-26\left(k-k_0\right)=0$.
Alors $15x-26k=15x_0-26k_0=m$
Donc $(x;k)$ est solution de $(E)$.
$\quad$
4. Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&26q + 7m \\ k&=&15q +4m \end{array}\right.\:\text{où}\: q \in \mathbb Z.\]
>Un couple solution $(x;k)$ vérifie donc $15\left(x-x_0\right)=26\left(k-k_0\right)$ c’est-à-dire $15(x-7m)=26(k-4m)$.
$15$ et $26$ sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Gauss, il existe donc $q\in \mathbb Z$ tel que :
$\begin{cases} x-7m=26q \\\\k-4m=15q\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x=7m+26q\\\\k=4m+15q \end{cases}$
Réciproquement, soit $q\in \mathbb Z$.
$15(26q+7m)-26(15q+4m) = 105m-104m=m$.
Le couple $(26q+7m;15q+4m)$ est donc solution de $(E)$.
Par conséquent les solutions de $(E)$ sont les couples $(26q+7m;15q+4m)$ pour tout $z\in\mathbb Z$.
$\quad$

Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array} $$ On définit un système de codage :

• à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant,
• on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$,
• on associe à $y$ la lettre correspondante.

Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P. \medskip

1. Coder le mot MATHS.
MATHS est associé à $12-0-19-7-18$
Ces nombres sont respectivement associés à $5-7-6-8-17$
On obtient alors le mot FHGIR.
$\quad$
2. Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.
   1. Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$.
   Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $15x+7=y+26k$ soit $15x-26k=y-7$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $x = 7y + 3$ $\:\:$ (mod $26$).
   On multiplie cette équation par $7$. On obtient alors $105x-182k=7y-49$.
   Par conséquent $x\equiv 7y+3 \quad$ mod $26$.
   $\quad$
   
   3. En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
   Pour décrypter une lettre il suffit :
   – d’associer à la lettre un nombre $y$ à l’aide du tableau
   – d’associer ensuite $y$ l’entier $x$ qui est le reste de la division euclidienne de $7y+3$ par $26$.
   – d’associer à $x$ la lettre correspondante.
   $\quad$
3. Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. Décoder le mot WHL.
W est associé à $22$. $7\times 22 + 3 = 157 \equiv 1\quad$ mod $26$.
Donc W est décodé en B.
$\quad$
H est associé à $7$. $7\times 7 + 3 = 52 \equiv 0\quad$ mod $26$.
Donc H est décodé en A.
$\quad$
L est associé à $11$. $7\times 11 + 3 = 80 \equiv 2\quad$ mod $26$.
Donc L est décodé en C.
$\quad$
Ainsi WHL est décodé en BAC.
$\quad$
4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
Supposons que qu’il existe deux lettres différentes codées par la même lettre.
Il existe donc deux entiers naturels $x_1$ et $x_2$ tels que :
$15x_1+7 \equiv 15x_2+7 \quad$ mod $26$.
Donc $15\left(x_1-x_2\right) \equiv 0$ mod $26$.
Puisque $15$ et $26$ sont premiers entre eux, $15\left(x_1-x_2\right) \equiv 0$ mod $26$ si, et seulement si, $x_1-x_2 \equiv 0 \quad$ mod $26$.
Cela signifie donc que $x_1=x_2$.
Par conséquent deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
$\quad$