Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$. Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.

Partie A


On a construit( en annexe 1 à rendre avec la copie ) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

  1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.
  2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.

 

Partie B


Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[h_a(x) = \ln x - ax^2.\]

  1. Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
    1. On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction ha est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
    2. Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
  2. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$.
    1. Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
    2. Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
  3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$.
    1. Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$.
    2. En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier.
  4. Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? Justifier.
Annexe 1


Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$. Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.

Partie A


On a construit( en annexe 1 à rendre avec la copie ) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

  1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.
  2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.
  3. Il semblerait que :
    – si $0<a<0,19$, $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ ont deux points d’intersection
    – si $a=0,19$, $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ ont un point d’intersection
    – si $a > 0,19$, $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ n’ont aucun point d’intersection

 

Partie B


Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[h_a(x) = \ln x - ax^2.\]

  1. Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
  2. Soit $x$ l’abscisse d’un point M appartenant à l’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$
    On a donc $f(x) = g_a(x) \iff f(x) – g_a(x)=0 \iff \ln x – ax^2 = 0$.
    1. On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction ha est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
    2. D’après l »énoncé, $h_a$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
      $h'(x) = \dfrac{1}{x} – 2ax = \dfrac{1 – 2ax^2}{x}$
      $\quad$
      $$\begin{array}{rl} h'(x) \ge 0 &\iff 1 – 2ax^2 \ge 0 \\ & \iff \left(1 – \sqrt{2a}x\right)\left(1 + \sqrt{2a}x\right) \ge 0 \\ & \iff \left(1 – \sqrt{2a}x\right) \ge 0 \quad \text{ car } \left(1 + \sqrt{2a}x\right) > 0 \\\ & \iff 1 \ge \sqrt{2a}x \\ & \iff x \le \dfrac{1}{\sqrt{2a}}\end{array}$$
      Ainsi $h'(a) > 0$ sur $\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{2a}} \right[$
      $h'\left(\dfrac{1}{\sqrt{2a}}\right) = 0 $
      $h'(a)<0$ sur $\left]\dfrac{1}{\sqrt{2a}};+\infty\right[$
      $\quad$
    3. Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
    4. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0$
      $\quad$
      $h_a(x) =x\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right)$
      $\lim\limits_{x \to +\infty} -ax = -\infty$ car $a> 0$
      Donc $\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right) = -\infty$
      Finalement $\left(\dfrac{\ln x}{x} – ax\right) h_a(x) = -\infty$
  3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$.
    1. Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
    2.  

      $$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

      D'après le théorème de la bijection :

      • \(\1 \) est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle \(I = \left]\2 ; \3\right]\).
      • \(\1\) est strictement croissante sur l' intervalle \(I = \left]\2 ; \3\right]\).
      • \(\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4\) et \(\1 \left(\3\right)=\5\)

      \(\1\) réalise donc une bijection de \(\left]\2 ; \3\right]\) sur \(\left]\4;\5\right]\)
      \(\6\in \left]\4;\5\right]\),
      donc l'équation \(\1(x) = \6 \) a une racine unique \(\7\) dans \(\left]\2 ; \3\right]\) .

       

      |-\infty|\frac\{\ln 5 -1\}{2\}|0|\alpha}
    3. Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
  4. L’équation $h_{0,1} = 0$ possède une solution sur chacun des intervalles $\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$ et $\left]\dfrac{1}{\sqrt{0,2}};+\infty\right[$.
    Ainsi $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ont deux points d’intersection.
  5. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$.
    1. Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$.
    2. $h_{\frac{1}{2\text{e}}}\left(\sqrt{ \text{e}}\right)= \dfrac{-1 – \ln \text{e}^{-1}}{2} = \dfrac{-1 +1}{2} = 0$.
    3. En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier.
    4. La fonction $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$ admet donc $0$ comme maximum, atteint seulement en $\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2\text{e}}}} = \sqrt{\text{e}}$.
      Ainsi $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$ n’ont qu’un seul point d’intersection.
  6. Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? Justifier.
  7. $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ n’ont aucun point d’intersection
    $$\begin{array}{rl} &\iff \dfrac{-1 – \ln(2a)}{2} <0 \\ &\iff -1 – \ln(2a) < 0 \\ &\iff -\ln(2a) < 1 \\ & \iff \ln(2a) > -1 \\ & \iff 2a > \text{e}^{-1} \\ & \iff a > \dfrac{1}{2\text{e}}\end{array}$$
 

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B

Partie A


On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, \[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par \[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On admet que la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$.

  1. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\]
  2. En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.

 

Partie B


La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}.

  1. Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) :
    1. Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$.
    2. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
  2. On suppose que $E(X) = 2$.
    1. Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
    2. Calculer la valeur de $\lambda$.
    3. Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. Interpréter ce résultat.
    4. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.

 

Partie C


Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
On note $D_1$ l'évènement « le composant 1 est défaillant avant un an »  et on note $D_2$ l'évènement « le composant 2 est défaillant avant un an ».
On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

  1. Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
  2. Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
Annexe 2


Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B

Partie A


On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, \[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par \[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On admet que la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$.

  1. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\]
  2. $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t &= F(x) – F(0) \\ &= -\left(x + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda x} – \left(-\dfrac{1}{\lambda}\right) \\ & = \dfrac{1}{\lambda}\left(1 – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} – \text{e}^{-\lambda x}\right)\end{array}$$
  3. En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
  4. $\displaystyle E(X) = \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -\lambda x = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} X\text{e}^X = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} = 0$
    $\quad$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\lambda x} = 0$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} – \text{e}^{-\lambda x}\right) = 1$
    $\quad$
    On a donc bien $E(X) =\dfrac{1}{\lambda}$.

 

Partie B


La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}.

  1. Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) :
    1. Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$.
    2. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
    3. On remarque que si $f(x)= \lambda \text{e}^{-\lambda x}$ alors $f(0)=\lambda$ Graphiquement $\lambda$ est l’ordonnée du point de la courbe représentant la fonction densité dont l’abscisse est $0$.
  2. On suppose que $E(X) = 2$.
    1. Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
    2. $E(X) = 2$. Cela signifie qu’en moyenne, le composant électronique a une durée de vie de $2$ ans.
    3. Calculer la valeur de $\lambda$.
    4. On a donc $\dfrac{1}{\lambda} = 2$ d’où $\lambda = 0,5$.
    5. Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. Interpréter ce résultat.
    6. $P(X \le 2) = 1 – \text{e}^{-0,5 \times 2} = 1 – \text{e}^{-1} \approx 0,63$
      $\quad$
    7. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
    8. On veut donc calculer :
      $$\begin{array}{rl} P_{X \ge 1}(X \ge 3) &= P_{X \ge 1}(X \ge 2 + 1) \\ & = P(X \ge 2) \\ & = 1 – P(X \le 2) \\ & = \text{e}^{-1}\end{array}$$
      (du fait de la durée de vie sans vieillissement).
      On peut aussi procéder au calcul de la façon suivante : $$\begin{array}{rll} P_{X \ge 1}(X \ge 3) &= \dfrac{P(X \ge 1)\cap(X \ge 3)}{P(X\geq 1)}& \text{ car } P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\ & =\dfrac{P( (X \ge 3)}{P(X\geq 1)}& \text{ car } (X \ge 3)\subset (X\geq 1) \\ & = \dfrac{ \text{e}^{-3\lambda} }{\text{e}^{-\lambda}}&\text{ car } P(X \leqslant t)=\text{e}^{-\lambda t} \\ & = \text{e}^{-2\lambda }&\\ & = \text{e}^{-1}& \text{ car } \lambda = 0,5 \end{array}$$

 

Partie C


Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
On note $D_1$ l'évènement « le composant 1 est défaillant avant un an »  et on note $D_2$ l'évènement « le composant 2 est défaillant avant un an ».
On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

  1. Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
  2. On veut donc calculer $P\left(D_1 \cap D_2\right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2\right)$ car les deux événements sont indépendants.
    Ainsi $P\left(D_1 \cap D_2\right) = 0,39^2 = 0,1521$
    La probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an est de $0,1521$.
  3. Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
  4. On veut calculer :
    $$\begin{array}{rl}P\left(D_1 \cup D_2\right) & = P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) – P\left(D_1 \cap D_2\right) \\ &= 0,39 + 0,39 – 0,1521 \\ &=0,6279\end{array}$$
    La probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an est de $0,6279$.

Exercice 3 4 points


Nombres complexes

Partie A


On appelle $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\mathbb C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $\left[\text{O}~;~ \vec{u}\right)$.

  1. Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
  2. Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
Partie B

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : \[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\] Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

  1. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
  2. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
  3. On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel.
    1. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
    2. Démontrer cette conjecture, puis conclure.

 


Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Nombres complexes

Partie A


On appelle $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\mathbb C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $\left[\text{O}~;~ \vec{u}\right)$.

  1. Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
  2. L’affixe du point $R$ est donc $|z|$.
  3. Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.
  4. Comme $M$ a pour affixe $z$ et $R$ a pour affixe $|z|$, $\dfrac{z + |z|}{2} $ est l'affixe du point $P$ mileu de $[MR]$.
    Pour finir $O$ a pour affixe $0$ et $P$ a pour affixe $\dfrac{z + |z|}{2} $, donc $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right)$ est le milieu du segment $[OP]$.
Partie B

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : \[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\] Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

  1. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
  2. Si $z_0$ est un nombre réel négatif alors $z_0 + |z_0| = z_0 -z_0 =0$
    Ainsi $z_1 = 0$ et $z_n = 0$ pour tout entier naturel non nul $n$.
    La suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ est donc constante à partir du rang $1$.
  3. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
  4. Si $z_0$ est un nombre réel positif, alors $z_0 + |z_0| = 2z_0$.
    Par conséquent $z_1 = \dfrac{z_0}{2}$
    Ainsi $z_{n+1} = \dfrac{z_n}{2}$. Donc $\left(\left|z_n\right|\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    La suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ est donc décroissante et converge vers $0$.
  5. On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel.
    1. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
    2. On peut émettre la conjecture que la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ converge vers $0$.
      $\quad$
    3. Démontrer cette conjecture, puis conclure.
    4. On a $\left|z_{n+1}\right| = \left|\dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{4}\right| \le \dfrac{2\left|z_n\right|}{4}$
      On utilise ici la propriété valable pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : $$ \left| z + z'\right| \le \left| z \right| + \left| z'\right|$$ Donc $0 \le \left|z_{n+1}\right| \le \dfrac{\left|z_n\right|}{2}$
      Or la suite $\left(\dfrac{\left|z_n\right|}{2}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ qui converge donc vers $0$.
      $\quad$
      D’après le théorème des gendarmes, la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ converge donc vers $0$.
      $\quad$
      Ainsi, pour tout nombre complexe $z_0$, la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ converge vers $0$.

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Partie A


On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables }: &k \text{ et } p \text{ sont des entiers naturels }\\ &u \text{ est un réel }\\ \text{ Entrée : }& \text{ Demander la valeur de } p\\ \text{ Traitement :} & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Pour }k \text{ variant de 1 à } p\\ &\hspace{0.6mm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Fin de pour }\\ \text{Sortie:}& \text{ Afficher }u\\ \hline \end{array} $$ Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ?

Partie B


Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

  1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
  2. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} $$ Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier.
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
  4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
  5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
  6. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

 

On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables }: &k \text{ et } p \text{ sont des entiers naturels }\\ &u \text{ est un réel }\\ \text{ Entrée : }& \text{ Demander la valeur de } p\\ \text{ Traitement :} & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Pour }k \text{ variant de 1 à } p\\ &\hspace{0.6mm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Fin de pour }\\ \text{Sortie:}& \text{ Afficher }u\\ \hline \end{array} $$ Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ?

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k& & 1&2 \\ \hline u&5&1&-0,5\\ \hline \end{array}$
On obtient donc en sortie $-0,5$

Partie B


Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

  1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
  2. Variables :
    $\quad$ $k$ et $p$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $u$ est un réel
    Entrée :
    $\quad$ Demander la valeur de $p$
    Traitement :
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $5$
    $\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $p$
    $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k-1) – 1,5$
    $\qquad$Afficher $u$
    $\quad$ Fin de pour
    $\quad$
  3. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} $$ Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier.
  4. On constate que $u_3<u_4$. La suite $(u_n)$ n’est donc pas décroissante.
  5. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
  6. Initialisation : Si $n= 3$ $ -0,375 >-0,75$ donc $u_4 > u_3$
    La propriété est donc vraie au rang $3$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} > u_n$.
    Alors
    $ 0,5u_{n+1} > 0,5u_n $
    Donc $0,5u_{n+1} +0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5n$
    Par conséquent $0,5u_{n+1} + 0,5(n+1) – 1,5 > 0,5u_n + 0,5n – 1,5$
    Finalement $u_{n+2} > u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion :
    La propriété est vraie au rang $3$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$, $u_{n+1} > u_n$.
  7. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
  8. $$\begin{array}{rl} v_{n+1} &= 0,1u_{n+1} – 0,1(n+1) + 0,5 \\ &= 0,05u_n + 0,05n – 0,15 – 0,1n – 0,1 + 0,5 \\ &= 0,05u_n – 0,05n +0,25 \\ &= 0,5(0,1u_n – 0,1n + 0,5) \\ &=0,5v_n\end{array}$$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0 = 0,1 \times 5 + 0,5 = 1$
    $\quad$
    Par conséquent $v_n = 0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  9. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
  10. On a $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$, on obtient en multipliant par 10: $$10 v_n = u_n - n + 5$$ On a ainsi
    $$\begin{array}{rl} u_n &= 10v_n + n – 5 \\ &=10 \times 0,5^n + n – 5\end{array}$$
  11. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  12. $\quad$ $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} n – 5 =+\infty $
    Donc par somme des limites, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A


Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables :} & c \text{ est un entier naturel}\\ &a \text{ et } b \text{ sont des entiers naturels non nuls }\\ \text{ Entrées : }&\text{ Demander } a\\ &\text{ Demander } b\\ \text{ Traitement: }&\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Tant que }c \ne 0\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } a \text{ le nombre } b\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } b \text{ la valeur de } c\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Fin Tant que }\\ Sortie : &\text{ Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
  2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non.

 

Partie B


À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\ \hline 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} $$ On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
  • Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
  • Étape 3 : on calcule l'entier $x'$ défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]
  • Étape 4 : à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
    1. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    2. Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient.
    3. Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$.
    4. Décoder la lettre R.
  2. Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
  3. Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A


Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables :} & c \text{ est un entier naturel}\\ &a \text{ et } b \text{ sont des entiers naturels non nuls }\\ \text{ Entrées : }&\text{ Demander } a\\ &\text{ Demander } b\\ \text{ Traitement: }&\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Tant que }c \ne 0\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } a \text{ le nombre } b\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } b \text{ la valeur de } c\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Fin Tant que }\\ Sortie : &\text{ Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
  2. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&26&9&5&4\\ \hline
    b&9&5&4&1\\ \hline
    c&5&4&1&0\\ \hline
    \end{array}$
    L’algorithme affichera donc $1$
  3. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non.
  4. Variables :
    $\quad$ $c$ est un entier naturel
    $\quad$ $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls
    Entrées :
    $\quad$ Demander $a$
    $\quad$ Demander $b$
    Traitement :
    $\quad$ affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
    $\quad$ Tant que $c \neq 0$
    $\qquad$ Affecter à $a$ le nombre $b$
    $\qquad$ Affecter à $b$ la valeur de $c$
    $\qquad$ Affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Si $b=1$
    $\qquad$ alors Afficher « $a$ et $b$ sont premiers entre eux »
    $\qquad$ sinon Afficher « $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux »
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$

 

Partie B


À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\ \hline 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} $$ On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
  • Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
  • Étape 3 : on calcule l'entier $x'$ défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]
  • Étape 4 : à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
    1. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    2. Etape 1 : $p=9$ et $q=2$
      Etape 2 : On choisit V. Donc $x=21$
      Etape 3 : $px + q = 191 \equiv 9 ~[26]$
      Etape 4 : La lettre associée à $9$ est J
      $\quad$
    3. Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient.
    4. Les nombres $9$ et $26$ sont premiers entre eux (d’après la question A.1.).
      D’après le théorème de Bezout, il existe alors au moins un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que $9u+26v=1$.
    5. Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$.
    6. $$\begin{array}{rl} x’ \equiv 9x + 2~[26] & \iff 3x’ \equiv 27x + 6 ~[26] \\ & \iff 3x’ \equiv x + 6~[26] \\ & \iff 3x’ – 6 \equiv x ~[26] \\ & \iff 3x’ + 20 \equiv x ~[26]\end{array}$$
    7. Décoder la lettre R.
  2. Si on obtient la lettre R, alors $x’= 17$
    Or $3 \times 17 + 20 = 71 \equiv 19~[26] $
    La lettre initiale était donc T.
  3. Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
  4. J est codé par D. Cela signifie donc que si $x=9$ alors $x’=3$
    Avec $x’ \equiv px + 2~[26] $
    Soit $3\equiv 9p + 2~[26]$
    par conséquent $9p \equiv 1~[26] $
    Or $9\times 3 = 27 \equiv 1~[26]$
    Donc $p = 3$
  5. Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?
  6. $p=13$ et $q=2$
    Si on choisit la lettre $B$ alors $x=1$
    Par conséquent $13 \times 1 + 2 = 15 \equiv 15~[26]$ donc $x’ = 15$
    On obtient ainsi la lettre P.
    $\quad$
    Si on choisit la lettre $D$ alors $x= 3$
    Par conséquent $13 \times 3 + 2 = 41 \equiv 15~[26]$ donc $x’=15$
    On obtient ainsi la lettre P.
    Ce codage n’est pas utilisable car deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Il n’y a pas unicité du codage

 

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