Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C$(2 ; -1 ; - 2)$ et D $(7 ; - 1 ; 4)$.

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; - 1 ; 3)$.
   1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
3. Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
   1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
   2. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&t\\ z &=& 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.
   3. La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?