Calcul de primitives

Pour Théo :

On a \(f(x)=\dfrac{5x}{(x^2+3)^4}\)

On pose \(u(x)= x^2+3\)

Alors \(u'(x)= 2x\) d'où on déduit \(x=\dfrac{1}{2}u'(x) \)

Ainsi \(f=\dfrac{5\times \dfrac{1}{2}u' }{u^4}= 5\times \dfrac{1}{2}u'  \times \dfrac{1}{u^4} =\dfrac{5}{2}u'  \times  u^{-4} \)

on utilise la propriété \(u^{-p} =\dfrac{1}{u^p}\)

Comme \(f=\dfrac{5}{2}u'  \times  u^{-4} \), on déduit :\[F= \dfrac{5}{2}  \times  \dfrac{u^{-4+1}}{-4+1}= \dfrac{5}{2}  \times  \dfrac{u^{-3}}{-3} = -\dfrac{5}{6}\times u^{-3} =-\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{u^3}=-\dfrac{5}{6u^3}\]

 

Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(F\) définies sur \(\mathbb R\) par \(F(x)= -\dfrac{5}{6(x^2+3)^3}+C\)

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