Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014 - Exercice 2

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Exercice 2  5 points

Commun à tous les candidats

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.
2. Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$.
   1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
   2. Justifier que, pour tout réel $x, h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$.
   3. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   4. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.
   5. En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$.
   6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
3. Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$
   1. Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$.
   2. Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
4. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.