Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Correction Exercice 1

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Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

1. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

D'après le cours: $P(X \in [  a\:; b ])=\displaystyle\int_{a}^{b} \lambda \,\text{e}\,^{-\lambda t} \text{d} t = \left [ - \,\text{e}\,^{-\lambda t}\right ]_a^b = \,\text{e}\,^{-\lambda a} - \,\text{e}\,^{-\lambda b}$ où $a>0$ et $b>0$. Donc pour $t>0$, $P(X \leq t) = \,\text{e}\,^0-\,\text{e}\,^{-\lambda t} = 1-\,\text{e}\,^{-\lambda t}$. $P(X \leqslant 2) = 0,15 \iff 1-\,\text{e}\,^{-\lambda \times 2} = 0,15 \iff 0,85 = \,\text{e}\,^{-2\lambda} \iff \ln(0,85) = -2\lambda \iff \dfrac{\ln(0,85)}{-2} = \lambda$ $ P(X \leqslant 2) = 0,15 \iff \lambda = -\dfrac{\ln(0,85)}{2}$

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
1. Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
Pour $t>0$: $P(X \geqslant t) = 1-P(X < t) = 1-P(X \leq t) = 1-\left ( 1 -\,\text{e}\,^{-\lambda t}\right ) = \,\text{e}\,^{-\lambda t}$. Donc $P(X \geqslant 3) = \,\text{e}\,^{-3\times 0,081} \approx 0,78$
2. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
Pour tous réels positifs $t$ et $h$: $P(X\geq t)=\,\text{e}\,^{-\lambda t}$ et $P(X\geq t+h)=\,\text{e}\,^{-\lambda (t+h)}$ $$P_{X\geq t}(X\geq t+h) = \dfrac{P\left[ (X\geq t) \cap (X \geq t+h) \right]}{P(X \geq t)} = \dfrac{P(X \geq t+h)}{P(X\geq t)}$$ $$ P_{X>t}(X>t+h) = \dfrac{\,\text{e}\,^{-\lambda (t+h)}}{\,\text{e}\,^{-\lambda t}} = \dfrac{\,\text{e}\,^{-\lambda t} \times \,\text{e}\,^{-\lambda h} }{\,\text{e}\,^{-\lambda t}} = \,\text{e}\,^{-\lambda h} = P(X \geq h)$$
3. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. La probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans est $P_{X\geq 3}(X \geq 3+2)$. D'après le cours: $P_{X\geq 3}(X \geq 3+2) = P(X\geq 2) = 1-P(X < 2)=1-0,15 = 0,85$.
4. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
D'après le cours, pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, l'espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. Donc $E(X)= \dfrac{1}{0,081} \approx 12,35$. Ce qui veut dire que la durée moyenne de vie d'un moteur est de $12,35$ années.
1. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$.
   L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
   Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
   Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
   On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est: $$\left[ p- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle\sqrt{n}} \right]$$ sous les trois conditions: $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$. L'échantillon de l'enquête est de taille $n=800$ et l'entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux est égal à 1 % donc $p=0,01$. Regardons si les trois conditions sont vérifiées:
$n=800 \geq 30$, $np=800 \times 0,01=8\geq 5$ et $n(1-p)=800\times 0,99 = 792 \geq 5$. L'intervalle est: $I = \left[ 0,01 - 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{\displaystyle \sqrt{800}}\:; 0,01 + 1,96\dfrac{\displaystyle\sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{\displaystyle\sqrt{800}} \right] \approx [ 0,003\:; 0,017 ]$. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une fréquence de $\dfrac{15}{800} = 0,01875 $; or $ 0,01875 \not\in I$ donc le résultat de ce test remet en question l'annonce de l'entreprise A.