Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée des connaissances

L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0 ;  1[,

il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} < X < \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par
\[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\] Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0 ; + \infty[$ par
\[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t) \text{d}t.\]

1. Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ?
2. Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
3. À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,  H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \text{d}t$.
4. En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0 ; + \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0 ; + \infty[$.
5. Démontrer alors le théorème énoncé.

Partie B
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B. 60 % des pipettes viennent de l'entreprise A et 4,6 % des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.

Dans le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

• $A$ l'évènement : «La pipette est fournie par l'entreprise A » ;
• $B$ l'évènement : «La pipette est fournie par l'entreprise B » ;
• $D$ l'évènement : «La pipette a un défaut ».

 

1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'entreprise A ?
2. Montrer que $p(B \cap D) = 0,0224 $.
3. Parmi les pipettes venant de l'entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ?

Partie C
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = 1,0424 $.

 

• Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s'aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Contenance } x \text{ (en mL)}& 95 &96 &97 &98 &99\\ \hline P(X \leqslant x) \left(\text{arrondi à } 10^{- 5}\right)&0,00000 &0,00004 &0,00165 &0,02506&0,16368\\ \hline\hline \text{ Contenance } x \text{ (en mL)}&100 &101 &102 &103 &104\\ \hline P(X \leqslant x) \left(\text{arrondi à } 10^{- 5}\right) &0,5 &0,83632 &0,97494 &0,99835 &0,99996\\ \hline \end{array}$$
• Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu'une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $100$.
  On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
  Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l'échantillon.
  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ?
  2. Vérifier que $n \geqslant 30,  np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$.
  3. Donner en fonction de $n$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.

   

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