Calcul littéral et équations : des exercices avec corrigé

 

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Factoriser au maximum les expressions suivantes et réduire les facteurs.

\(A(x)=(4x+3)^2-1\)

\(B(x)=4-(2x+1)^2\)

\(C(x)=(5x-3)^2-x^2\)

\(D(x)=(x+1)^2-(x+7)^2\)

\(E(x)=(2x+5)^2-(2x+3)^2\)

\(F(x)=(4x-7)^2-(3x+5)^2\)

\(\quad\)

Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Factoriser en plusieurs étapes :

\(A(x)=5x^2-20\)

\(B(x)=3x^2-75\)

\(C(x)=28x^2-63\)

\(E(x)=x^2-4+(x-2)(2x+1)\)

\(F(x)=2x-3+(3-2x)^2\)

\(G(x)=(5x+1)(-3x+4)+x(10x+2)\)

\(H(x)=(2x-3)(1-x)-3(x-1)(x+2)\)

\(\quad\)

 
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Pour chacune des expressions suivantes :

  1. La développer.
  2. La factoriser.
  3. Développer l’expression trouvée en \textbf{2.} après factorisation et vérifiée qu’on retrouve bien l’expression obtenue en \textbf{1.} .

\(A(x)=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)\)

\(B(x)=(x+2)(3x+1)-(x+2)(2x+3)\)

\(C(x)=9x^2-25+(3x-5)(3x+5)\)

\(D(x)=(2x-3)(2x-7)-(6x-9)\)

\(E(x)=(x-5)(2x-3)-(5-x)(10-x)\)

\(F(x)=7x(2x-3)-4(3-2x)\)

\(\quad\)

Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé
  1. Développer \(3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x-4)\).
    \(\quad\)
  2. Résoudre \(x^2+2x+1=4x^2-12x+9\).
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Résoudre les équations suivantes.

  1. \(5x(x-2)=(2x+1)(x-2)\)
    \(\quad\)
  2. \((3x+1)(x-4)=-4\)
    \(\quad\)
  3. \((2x-7)(x+3)=2x-7\)
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 6
Enoncé

Résoudre les équations suivantes :

  1. \((-x+2)^2=(2x+7)^2\)
    \(\quad\)
  2. \((2x-1)^2+36=0\)
    \(\quad\)
  3. \((3x-2)^2=16x^2\)
    \(\quad\)
  4. \(x^2-10x=-25\)
    \(\quad\)
  5. \(\dfrac{2x-1}{x+4}=1\)
    \(\quad\)
  6. \(\dfrac{-x+2}{x+1}=2\)
    \(\quad\)
  7. \(\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x+5}\)
    \(\quad\)
Corrigé
  1. \(\quad\)
    \(\begin{align*}(-x+2)^2=(2x+7)^2 &\iff (-x+2)^2-(2x+7)^2=0\\
    &\iff \left[(-x+2)-(2x+7)\right]\left[(-x+2)+(2x+7)\right]=0\\
    &\iff (-x+2-2x-7)(-x+2+2x+7)=0\\
    &\iff (-3x-5)(x+9)=0
    \end{align*}\)
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc \(-3x-5=0\) \(\quad\) ou \(\quad\) \(x+9=0\)
    soit \(x=-\dfrac{5}{3}\) \(\quad\) ou \(\quad\) \(x=-9\)
    Les solutions de l’équation sont \(-\dfrac{5}{3}\) et \(-9\).
    \(\quad\)
  2. \(\quad\)
    \((2x-1)^2+36=0 \iff (2x-1)^2=-36\)
    Un carré ne peut pas être négatif. L’équation ne possède donc pas de solution.
    \(\quad\)
  3. \(\quad\)
    \(\begin{align*} (3x-2)^2=16x^2 &\iff (3x-2)^2-16x^2=0\\
    &\iff (3x-2)^2-(4x)^2=0\\
    &\iff \left[(3x-2)-4x\right]\left[(3x-2)+4x\right]=0\\
    &\iff (-x-2)(7x-2)=0
    \end{align*}\)
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc \(-x-2=0\) \(\quad\) ou \(\quad\) \(7x-2=0\)
    soit \(x=-2\) \(\quad\) ou \(\quad\) \(x=\dfrac{2}{7}\)
    Les solutions de l’équation sont donc \(-2\) et \(\dfrac{2}{7}\).
    \(\quad\)
  4. \(\quad\)
    \(x^2-10x=-25 \iff x^2-10x+25=0\iff (x-5)^2=0 \iff x-5=0\)
    La solution de l’équation est donc \(5\).
    \(\quad\)
  5. \(\quad\)
    \(\begin{align*} \dfrac{2x-1}{x+4}=1 &\iff \dfrac{2x-1}{x+4}-1=0 \\
    &\iff \dfrac{2x-1}{x+4}-\dfrac{x+4}{x+4}=0\\
    &\iff \dfrac{x-5}{x+4}=0 \\
    &\iff x-5=0 \quad \text{et} \quad x\neq -4\\
    \iff x=5
    \end{align*}\)
    La solution de l’équation est \(5\).
    \(\quad\)
  6. \(\quad\)
    \(\begin{align*} \dfrac{-x+2}{x+1}=2 &\iff \dfrac{-x+2}{x+1}-2=0\\
    &\iff \dfrac{-x+2}{x+1}-\dfrac{2(x+1)}{x+1}=0\\
    &\iff \dfrac{-x+2}{x+1}-\dfrac{2x+2}{x+1}=0\\
    &\iff \dfrac{-x+2-2x-2}{x+1}=0\\
    &\iff \dfrac{-3x}{x+1}=0\\
    &\iff x=0
    \end{align*}\)
    La solution de l’équation est \(0\).
    \(\quad\)
  7. \(\quad\)
    \(\begin{align*} \dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x+5} &\iff \dfrac{x+2}{x-3}-\dfrac{x-4}{x+5}=0\\
    &\iff \dfrac{(x+2)(x+5)-(x-4)(x-3)}{(x-3)(x+5)}=0\\
    &\iff \dfrac{x^2+5x+2x+10-\left(x^2-3x-4x+12\right)}{(x-3)(x+5)}=0\\
    &\iff \dfrac{x^2+7x+10-\left(x^2-7x+12\right)}{(x-3)(x+5)}=0\\
    &\iff \dfrac{x^2+7x+10-x^2+7x-12}{(x-3)(x+5)}=0\\
    &\iff \dfrac{14x-2}{(x-3)(x+5)}=0\\
    &\iff 14x-2=0 \quad \text{et} \quad x\neq 3 \text{ et } x\neq -5\\
    &\iff x=\dfrac{1}{7}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
Exercice 7
Enoncé

On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\neq -4\), par \(f(x)=\dfrac{3x+b}{x+4}\)où \(b\) est un réel. On sait de plus que \(f(1)=2\).

Déterminer l’expression algébrique \(f(x)\).

\(\quad\)

Corrigé
 

Exercice 8

Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16

 

 

 

 

 

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