Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 Fonction exp

oui
non
S
Année 2018
Métropole Septembre
Fonction exp

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats


Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\) par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\]où \(k\) et \(a\) sont deux constantes réelles positives et la variable \(t\) désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000.

  1. Déterminer les valeurs exactes de \(k\) et de \(a\) pour que \(g(0) = \dfrac{1}{8}\) et \(g(10) = \dfrac{64}{100}\).
  2. Dans la suite, on prendra \(k = 7\) et \(a = 0,25\). La fonction \(g\) est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
    1. Montrer que la fonction \(g\) est croissante sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\).
    2. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
    1. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1er janvier 2018.
    2. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction \(g\) de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, \(880\) étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)

Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 


Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\) par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\]où \(k\) et \(a\) sont deux constantes réelles positives et la variable \(t\) désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000.

  1. Déterminer les valeurs exactes de \(k\) et de \(a\) pour que \(g(0) = \dfrac{1}{8}\) et \(g(10) = \dfrac{64}{100}\).
  2. \(g(0)=\dfrac{1}{1+k}\).
    Or
    \(\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\iff \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
    &\iff k+1=8 \\
    &\iff k=7
    \end{align*}\)
    Ainsi \(g(t)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-\alpha t}}\)
    \(g(10)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}\)
    Or
    \(\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \iff \dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
    &\iff 64\left(1+7\text{e}^{-10\alpha}\right)=100 \\
    &\iff 64+448\text{e}^{-10\alpha}=100 \\
    &\iff 448\text{e}^{-10\alpha}=36 \\
    &\iff \text{e}^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
    &\iff -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
    &\iff \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  3. Dans la suite, on prendra \(k = 7\) et \(a = 0,25\). La fonction \(g\) est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
    1. Montrer que la fonction \(g\) est croissante sur l'intervalle \([0 ; + \infty[\).
    2. La fonction \(t\mapsto -\dfrac{t}{4}\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
      La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et \(7>0\). On en déduit que la fonction \(t \mapsto 7\text{e}^{-t/4}\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
      Il en donc de même pour la fonction \(t\mapsto 1+7\text{e}^{-t/4}\) (fonction positive également).
      La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\).
      Par conséquent la fonction \(g\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0;+\infty[\).
      \(\quad\)
      Remarque : On pouvait également étudier le signe de \(g'(x)\) après avoir montré que la fonction \(g\) est dérivable.
      \(\quad\)
    3. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
    4. \(\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty\) or \(\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x=0\)
      Donc \(\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-t/4}=0\) et \(\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1\).
      La fonction \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\) en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle \([0;+\infty[\), la fonction \(g\) est strictement croissante d’après la question précédente.
      De plus \(g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99\) et \(\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99\).
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(g(t)=0,99\) possède une unique solution sur l’intervalle \([0;+\infty[\).
      On peut donc affirmer qu’un jour, au moins \(99\%\) des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
      \(\quad\)
      Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
      \(\quad\)
    1. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1er janvier 2018.
    2. On a \(g(18)\approx 0,93\).
      Au 1ier janvier 2018 environ \(93\%\) des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
      \(\quad\)
    3. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction \(g\) de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, \(880\) étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)
    4. On a \(n=1~000\) et \(p=0,93\).
      Donc \(n=1~000 \geq 30\), \(np=930\geq 5\) et \(n(1-p)=70\geq 5\).
      Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\%\) de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
      \(\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
      &\approx [0,914;0,946]\end{align*}\)
      La fréquence observée est \(f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}\).
      Au risque d’erreur de \(5\%\), ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
      \(\quad\)

 

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