Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2019.

Baccalauréat S Antilles Guyane 18 juin 2019

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A


Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\] La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(O ; 0,5). La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10; 1).
Ex1 courbe

  1. Justifier que $a = 1$. On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$ \[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}.\]
  3. En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.

Partie B

La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}.\] Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1erjanvier 2000. Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années. Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    2. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  2. On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
  3. On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 par \[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
    1. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[p(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}.\]
    2. En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    3. Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.

Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats

 

Partie A


Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\] La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(O ; 0,5). La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10; 1).
Ex1 courbe

  1. Justifier que $a = 1$. On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]
  2. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\iff \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\iff a=1\end{align*}$
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$ \[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}.\]
  4. Pour tout réel $x\geq 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\text{e}^{-bx}}{\left(1+\text{e}^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1+\text{e}^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
  5. En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.
  6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\iff b=0,2$
    $\quad$

 

Partie B


La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}.\] Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1erjanvier 2000. Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années. Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    2. Au 1er janvier 2010 on a $x=10$
      Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-2}}\approx 0,88$.
      Ainsi, environ 88% des individus sont équipés au 1er janvier 2010.
      $\quad$
    3. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    4. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
      La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\text{e}^{-0,2x}}{\left(1+\text{e}^{-0,2x}\right)^2}$.
      La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.
      Par conséquent, pour tout réel $x\geq 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
      $\quad$
    5. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
    6. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$.
      Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
      $\quad$
  2. On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95 %, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
  3. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} p(x)>0,95 &\iff \dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}>0,95 \\
    &\iff 1+\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
    &\iff \text{e}^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
    &\iff -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
    &\iff x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
    Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
    C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
    $\quad$
  4. On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 par \[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
    1. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[p(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}.\]
    2. Pour tout réel $x\geq 0$ on a :
      $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}} \\
      &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\text{e}^{0,2x}}} \\
      &=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^{0,2x}+1}{\text{e}^{0,2x}}} \\
      &=\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}}\end{align*}$
      $\quad$
    3. En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    4. Pour tout réel $x$ on a $p(x)=\dfrac{1}{0,2}\times \dfrac{0,2\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}}$.
      On a donc une expression de la forme $\dfrac{u’}{u}$.
      Une primitive de la fonction $p$ sur cet intervalle est donc la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(x)=\dfrac{\ln\left(1+\text{e}^{0,2x}\right)}{0,2}$.
      $\quad$
    5. Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    6. Ainsi :
      $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\text{d}x \\
      &=\dfrac{1}{2}\left(P(10)-P(8)\right)\\
      &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\text{e}^{2}\right)-\ln\left(1+\text{e}^{1,6}\right)\right)\\
      &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\text{e}^{2}}{1+\text{e}^{1,6}}\\
      &\approx 0,86\end{align*}$
      $\quad$

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s'entraînent sur un terrain constitué d'une partie plane qui est bordée par un obstacle. On considère un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ , une unité correspondant à dix mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points O, P, Q, T, U et V par leurs coordonnées dans ce repère : \[\text{O}(0~;~0~;~0), \text{P}(0~;~10~;~0), \text{Q}(0~;~11~;~1), \text{T}(10~;~11~;~1), \text{U}(10~;~10~;~0) \text{et V}(10~;~0~;~0)\] La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l'obstacle par le rectangle PQTU.
Ex2 Geo
Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu'ils suivent des trajectoires rectilignes:

 

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d'Alex

 

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
    1. Justifier que le vecteur $\vec{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (PQU).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (PQU).
  2. Démontrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I de coordonnées $\left(21~;~\dfrac{3}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right)$.
  3. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d'Alex ne rencontre pas l'obstacle.

 

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires


Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de 4 mètres entre les trajectoires de leurs drones. L'objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée. Pour cela, on considère un point $M$ de la droite (AB) et un point $N$ de la droite (CD). Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{\text{A}M} = a \vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{C}N} = b \vec{\text{CD}}$. On s'intéresse donc à la distance $MN$.

  1. Démontrer que les coordonnées du vecteur $\vec{MN}$ sont $(2 - 2b~;~2 - 2a~;~- 0,5a)$.
  2. On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires. On admet également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite (AB) et à la droite (CD). Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a = \frac{16}{17}$ et $b = 1$.
  3. En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure.

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s'entraînent sur un terrain constitué d'une partie plane qui est bordée par un obstacle. On considère un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ , une unité correspondant à dix mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points O, P, Q, T, U et V par leurs coordonnées dans ce repère : \[\text{O}(0~;~0~;~0), \text{P}(0~;~10~;~0), \text{Q}(0~;~11~;~1), \text{T}(10~;~11~;~1), \text{U}(10~;~10~;~0) \text{et V}(10~;~0~;~0)\] La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l'obstacle par le rectangle PQTU.
Ex2 Geo
Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu'ils suivent des trajectoires rectilignes:

 

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d'Alex

 

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
  2. On a $\vec{AB}(0;2;0,5)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc : $\begin{cases} x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\end{cases} \quad, t\in\mathbb R$.
    $\quad$
    1. Justifier que le vecteur $\vec{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (PQU).
    2. On a $\vec{PQ}(0;1;1)$ et $\vec{PU}(10;0;0)$.
      Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
      D’une part $\vec{n}.\vec{PQ}=0+1-1=0$;
      D’autre part $\vec{n}.\vec{PU}=0+0+0=0$.
      Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQU)$.
      Le vecteur $\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $(PQU)$.
      $\quad$
    3. En déduire une équation cartésienne du plan (PQU).
    4. Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc de la forme $y-z+d=0$.
      Le point $P(0;10;0)$ appartient à ce plan.
      Donc $10-0+d=0 \iff d=-10$.
      Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc $$y-z-10=0$$
      $\quad$
  3. Démontrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I de coordonnées $\left(21~;~\dfrac{3}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right)$.
  4. Montrons que le point $I$ appartient à la droite $(AB)$.
    Résolvons pour cela l’équation :
    $4+2t=\dfrac{37}{3} \iff 2t=\dfrac{25}{3} \iff t=\dfrac{25}{6}$
    De plus $0,25+0,5\times \dfrac{25}{6}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{25}{12}=\dfrac{7}{3}$
    Le point $I$ appartient donc à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    $\dfrac{37}{3}-\dfrac{7}{3}-10=\dfrac{30}{3}-10=10-10=0$. Le point $I$ appartient également au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    De plus $\vec{AB}(0;2;0,5)$ et $\vec{n}(0;1;-1)$ ne sont pas colinéaires.
    La droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont donc sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{37}{3};\dfrac{7}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d'Alex ne rencontre pas l'obstacle.
  6. On a $\dfrac{37}{3}\approx 12,33 > 11$ (deuxième coordonnée des points $Q$ et $T$).
    En suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
    Remarque : $\dfrac{7}{3}>1$. On pouvait donc également dire que la côte du point $I$ était supérieure à celle des points $Q$ et $T$.
    $\quad$

 

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires


Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de 4 mètres entre les trajectoires de leurs drones. L'objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée. Pour cela, on considère un point $M$ de la droite (AB) et un point $N$ de la droite (CD). Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{\text{A}M} = a \vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{C}N} = b \vec{\text{CD}}$. On s'intéresse donc à la distance $MN$.

  1. Démontrer que les coordonnées du vecteur $\vec{MN}$ sont $(2 - 2b~;~2 - 2a~;~- 0,5a)$.
  2. On a $\vec{AM}(0;2a;0,5a)$ et $\vec{CD}(-2;0;0)$
    Donc $\vec{CN}(-2b;0;0)$
    De plus $\vec{AC}(2;2;0)$.
    Or $\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AC}+\vec{CN}$.
    Les coordonnées du vecteur $\vec{MN}$ sont donc $(2-2b;-2a+2;-0,5a)$.
    $\quad$
  3. On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires. On admet également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite (AB) et à la droite (CD). Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a = \frac{16}{17}$ et $b = 1$.
  4. On a $\vec{MN}.\vec{CD}=-2(2-2b)$ et $\vec{MN}.\vec{AB}=2(2-2a)+0,5(-0,5a)$
    La droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$
    $\begin{align*}&\iff \begin{cases} -2(2-2b)=0\\2(2-2a)+0,5(-0,5a)=0 \end{cases}\\
    &\iff \begin{cases} 2-2b=0\\4-4a-0,25a=0\end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} b=1\\4,25a=4\end{cases}\\
    &\iff \begin{cases} b=1\\a=\dfrac{16}{17}\end{cases}\end{align*}$
    La distance est donc minimale lorsque $a=\dfrac{16}{17}$ et $b=1$.
    $\quad$
  5. En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure.
  6. Les coordonnées du vecteur $\vec{MN}$ sont donc $\left(0;\dfrac{2}{17};-\dfrac{8}{17}\right)$.
    Ainsi $MN=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{2}{17}\right)^2+\left(-\dfrac {8}{17}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{17}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}$.
    Or $\dfrac{2}{\sqrt{17}}\approx 0,49$
    Ainsi la distance minimale qui sépare les deux drones est environ égale à $4,9$ m, qui est bien supérieure à la distance de $4$ m imposée. Il n’y aura pas de collision entre les deux drones.
    $\quad$

 


Exercice 3 4 points


Vrai - Faux

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le nombre complexe $c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et les points S et T d'affixes respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

  1. Affirmation 1 :
    Le nombre $c$ peut s'écrire $c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
  2. Affirmation 2 :
    Pour tout entier naturel $n$, $c^{3n}$ est un nombre réel.
  3. Affirmation 3 :
    Les points O, S et T sont alignés.
  4. Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel non nul $n$, \[|c| + \left|c^2 \right| + \ldots + \left|c^n \right| = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n.\]

Correction de l'exercice 3 (4 points)


Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le nombre complexe $c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et les points S et T d'affixes respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

  1. Affirmation 1 :
    Le nombre $c$ peut s'écrire $c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
  2. On a :
    $\begin{align*} c&=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i} \pi/3} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(1+\text{i} \sqrt{3}\right)\end{align*}$
    Par conséquent $c\neq \dfrac{1}{4}\left(1-\text{i} \sqrt{3}\right)$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  3. Affirmation 2 :
    Pour tout entier naturel $n$, $c^{3n}$ est un nombre réel.
  4. On considère un entier naturel $n$.
    On a donc $c^{3n}=\dfrac{1}{2^{3n}}\text{e}^{n \text{i} \pi}$
    Or $\text{e}^{n \text{i} \pi} \in \left\{-1;1\right\}$.
    Donc $c^{3n}\in \mathbb R$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  5. Affirmation 3 :
    Les points O, S et T sont alignés.
  6. On a $\dfrac{1}{c}=2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}$ et $c^2=\dfrac{1}{4}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$
    L’affixe du vecteur $\vec{OS}$ est $z_{\vec{OS}}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$ et celle du vecteur $\vec{OT}$ est $z_{\vec{OT}}=2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}=2\text{e}^{2\text{i} \pi/3-\text{i} \pi}=2\text{e}^{-ic \pi}\text{e}^{2\text{i} \pi/3}=-2\text{e}^{2\text{i} \pi/3}$.
    Ainsi $z_{\vec{OT}}=-8z_{\vec{OS}}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $O, S$ et $T$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  7. Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel non nul $n$, \[|c| + \left|c^2 \right| + \ldots + \left|c^n \right| = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n.\]
  8. On a $|c|=\dfrac{1}{2}$.
    Donc, pou tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} |c|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}} -1\\
    &=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}-1 \\
    &=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)-1 \\
    &=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-1\\
    &= 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A


Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d'analyse de ce match. On dispose des informations suivantes:

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:


On note $x$ la probabilité qu'un téléspectateur ait regardé l'émission sachant qu'il n'a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
  2. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
    1. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
    2. En déduire la valeur de $x$.
  3. Le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il ait regardé le match?

 

Partie B


Pour déterminer l'audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français. Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,5$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
  2. Déterminer l'arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T \geqslant t) = 0,066$. Interpréter le résultat.

 

Partie C


La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}.\] L'institut de sondage a constaté qu'un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans. L'usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans. L'affirmation de l'usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée.


Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A


Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d'analyse de ce match. On dispose des informations suivantes:

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les évènements:


On note $x$ la probabilité qu'un téléspectateur ait regardé l'émission sachant qu'il n'a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
  2. arbre
  3. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
  4. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
    1. Vérifier que $p(E) = 0,44x + 0,14$.
    2. D’après la formule des probabilités totales on a :
      $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\overline{M}\cap E\right) \\
      &=0,14+0,44x\end{align*}$
      $\quad$
    3. En déduire la valeur de $x$.
    4. On sait que $P(E)=0,162$
      Par conséquent $0,44x+014=0,162\iff 0,44x=0,022\iff x=0,05$.
      $\quad$
  5. Le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il ait regardé le match?
  6. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\overline{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\overline{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,95}\\
    &\approx 0,44\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,44$.
    $\quad$

 

Partie B


Pour déterminer l'audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français. Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,5$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
  2. On a $P(1\leq T\leq 2)\approx 0,682$.
    On remarque qu’il s’agit du calcul de $P(\mu-\sigma\leq T\leq \mu+\sigma)$.
    La probabilité qu’un spectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soit du match est environ égale à $0,682$.
    $\quad$
  3. Déterminer l'arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T \geqslant t) = 0,066$. Interpréter le résultat.
  4. On a :$P(T\geq t)=0,066 \iff P(T<t)=0,934$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $tt\approx 2,25$.
    $6,6/%$ des spectateurs ont passé plus de $2$h $15$ minutes devant la télévision le soir du match.
    $\quad$

 

Partie C

 

La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}.\]

L'institut de sondage a constaté qu'un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans. L'usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans. L'affirmation de l'usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée.

On a $P(1\leq S\leq 2)=\text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-2\lambda}$
Par conséquent $\text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-2\lambda}=0,25$
On pose $X=\text{e}^{-\lambda}$.
On a donc l’équation $-X^2+X-0,25=0 \iff -(X-0,5)^2=0 \iff X=0,5$.

Ainsi $\text{e}^{-\lambda}=0,5 \iff \lambda =-\ln 0,5 \iff \lambda =\ln 2$.

La durée de vie moyenne des boîtiers est $E(S)=\dfrac{1}{\ln 2}\approx 1,44<3$.

L’affirmation de l’usine est fausse.
$\quad$


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On étudie l'évolution quotidienne des conditions météorologiques d'un village sur une certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états météorologiques possibles :«ensoleillé », «nuageux sans pluie» et «pluvieux ». On sait que:

Pour tout entier naturel $n$, on note les évènements:


Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des évènements $A_n$, $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$,  $a_n + b_n + c_n = 1$. On suppose qu'initialement, le temps est ensoleillé. On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,3a_n - 0,1b_n + 0,2$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 0,2a_n + 0,2$.
  1. On considère les matrices \[M = \begin{pmatrix}0,3& -0,1\\0,2&0\end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},\quad R \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}.\]
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + R$.
    2. Soit $Y = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta \end{pmatrix}$ tel que $Y = MY + R$. Démontrer que $\alpha = \beta = 0,25$.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = U_n - Y$.
    1. En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,  $V_{n+1} = MV_n$
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $V_n = M^nV_0$.
  3. On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, \[M^n = \begin{pmatrix}2 \times 0,2^n - 0,1^n& 0,1^n - 0,2^n\\ 2 \times 0,2^n - 2 \times 0,1^n & 2 \times 0,1^n - 0,2^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de l'entier strictement positif $n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    3. On admet que, pour tout entier naturel $n$,  $c_n = 0,5 + 3 \times 0,1^n - 3,5 \times 0,2^n$. La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle dépasser $0,5$ ?

Correction de l'exercice de Spécialité 6 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On étudie l'évolution quotidienne des conditions météorologiques d'un village sur une certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états météorologiques possibles :«ensoleillé », «nuageux sans pluie» et «pluvieux ». On sait que:

Pour tout entier naturel $n$, on note les évènements:


Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des évènements $A_n$, $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$,  $a_n + b_n + c_n = 1$. On suppose qu'initialement, le temps est ensoleillé. On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
    2. On peut représenter la situation à l’aide du graphe suivant :
      ex4graphe
      Donc, pour tout entier naturel $n$ on a :
      $a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n$
      $\quad$
    3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,3a_n - 0,1b_n + 0,2$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 0,2a_n + 0,2$.
    4. On sait également que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1\iff c_n=1-a_n-b_n$.
      Donc :
      $\begin{align*} a_{n+1}&=0,5a_n+0,1b_n+0,2\left(1-a_n-b_n\right) \\
      &=0,5a_n+0,1b_n+0,2-0,2a_n-0,2b_n\\
      &=0,3a_n-0,1b_n+0,2\end{align*}$
      $\quad$
  1. On considère les matrices \[M = \begin{pmatrix}0,3& -0,1\\0,2&0\end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},\quad R \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}.\]
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + R$.
    2. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n-0,1b_n+0,2\\b_{n+1}=0,2a_n+0\times b_n+0,2\end{cases}$
      $\iff \begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$.
      Par conséquent $U_{n+1}=MU_n+R$
      $\quad$
    3. Soit $Y = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta \end{pmatrix}$ tel que $Y = MY + R$. Démontrer que $\alpha = \beta = 0,25$.
    4. On a :
      $\begin{align*} Y=MY+R&\iff \begin{cases} \alpha=0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\\beta=0,2\alpha+0,2 \end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2 \\\alpha=0,3\alpha-0,1(0,2\alpha+0,2)+0,2\end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2\\\alpha=0,28\alpha+0,18\end{cases} \\
      &\iff \begin{cases}\beta=0,2\alpha+0,2\\0,72\alpha=0,18\end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} \alpha =0,25\\beta=0,25\end{cases}\end{align*}$$\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = U_n - Y$.
    1. En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,  $V_{n+1} = MV_n$
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
      $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-Y \\
      &=MU_n+R-(MY+R) \\
      &=MU_n+R-MY-R\\
      &=M\left(U_n-Y\right)\\
      &=MV_n\end{align*}$
      $\quad$
    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $V_n = M^nV_0$.
    4. Initialisation : Si $n=1$ alors $V_1=V_{0+1}=MV_0$.
      La propriété est vraie au rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $V_n=M^nV_0$.
      Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$.
      $V_{n+1}=MV_n=M\times M^nV_0=M^{n+1}V_0$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ strictement positif on a $V_n=M^nV_0$.
      $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, \[M^n = \begin{pmatrix}2 \times 0,2^n - 0,1^n& 0,1^n - 0,2^n\\ 2 \times 0,2^n - 2 \times 0,1^n & 2 \times 0,1^n - 0,2^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de l'entier strictement positif $n$.
    2. On a $V_0=U_0-Y=\begin{pmatrix}0,75\\-0,25\end{pmatrix}$.
      De plus $V_n=U_n-Y \iff U_n=V_n+Y\iff U_n=M^nV_0+Y$
      Par conséquent
      $\begin{align*} a_n&=0,75\left(2\times 0,2^n-0,1^n\right)-0,25\left(0,1^n-0,2^n\right)+0,25 \\
      &=1,75\times 0,2^n-0,1^n+0,25\end{align*}$
      $\quad$
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    4. On a $-1<0,2<1$ et $-1<0,1<1$
      Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,1^n=0$
      Par conséquent $$\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,25$.
      $\quad$
    5. On admet que, pour tout entier naturel $n$,  $c_n = 0,5 + 3 \times 0,1^n - 3,5 \times 0,2^n$. La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle dépasser $0,5$ ?
    6. On a :
      $\begin{align*} c_n\leq 0,5 &\iff 0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n\leq 0,5 \\
      &\iff 3\times 0,1^n\leq 3,5\times 0,2^n \\
      &\iff \left(\dfrac{0,1}{0,2}\right)^n \leq \dfrac{3,5}{n} \\
      &\iff 0,5^n \leq \dfrac{3,5}{3} \\
      &\iff n\ln 0,5 \leq \ln \dfrac{3,5}{3}\\
      &\iff n \geq \dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5} \end{align*}$
      Or $\dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5}<0$.
      Donc pour tout entier naturel $n$ on a $c_n\leq 0,5$.
      La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours ne dépassera jamais $0,5$.
      $\quad$