Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Correction Exercice 1

Page 2 sur 10: Correction Exercice 1

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

• $A$ l'évènement « la médaille tirée est argentée » ;
• $D$ l'évènement « la médaille tirée est dorée » ;
• $B$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;
• $L$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
• $S$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

 

1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
   1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.

   La situation peut-être modélisée par cet arbre pondéré.

   

   On veut calculer $p(A\cap L)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{40}$
   $\quad$
   
   2. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}
   p(L)&=p(A\cap L)+p(D\cap L) \\
   &=\dfrac{3}{40}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} \\
   &= \dfrac{21}{40}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
   On veut calculer $p_L(D)=\dfrac{p(L\cap D)}{p(L)}$ $=\dfrac{\dfrac{9}{20}}{\dfrac{21}{40}}$ $=\dfrac{6}{7}$
   $\quad$
2. On veut calculer $p_S(A)$.
   Les médailles représentant le château de Saumur sont exclusivement argentées. Donc $p_S(A)=1$.
   $\quad$

Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.

 

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement « la médaille est conforme ». Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
$P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
$\quad$ En vidéo !
2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
   1. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
   La varaible aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   2. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
   $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
   Donc :
   $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
   &\Leftrightarrow P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
   &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
   &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
   &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
   &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
   &\Leftrightarrow P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
   \end{align*}$
   A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
   $\quad$