Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Correction Exercice 4
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Correction de l'exercice 4 : 3 points
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]
- Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse. Il n’y a que dans la situation 2 que le signe de $\mathscr{C}_f$ correspond aux variations de $\mathscr{C}_F$.
- Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
- K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
- L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
- Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses. L’aire de ce domaine est d’environ $0,5 \times 1 = 0,5$ u.a.
- Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ? Pour répondre à cette question, il faut être en mesure de déterminer la primitive dont une représentation graphique est fournie.
$\quad$
Une primitive de $f$ est $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2} +C$.
Une lecture graphique ne permet pas de déterminer précisément la valeur de $C$.
Il n’est donc pas possible de fournir une valeur exacte de l’aire.
$\quad$
Remarque : Si on suppose que $F(1) = 0$ alors $C=0$ et $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2}=\ln(x)\left(1+\dfrac{\ln(x)}{2}\right)$.
L’abscisse de $K$ vérifie donc $1+\ln x = 0$ soit $x=\text{e}^{-1}$.
L’abscisse de $L$ vérifie donc $1 + \dfrac{\ln x}{2} = 0$ soit $x=\text{e}^{-2}$ ou $\ln x=0$ soit $x=1$.
Or son abscisse est supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Par conséquent $x_L = 1$.
Ainsi l’aire du domaine cherchée, puisque la fonction $f$ est positive et continue sur $\left[e^{-1};1\right]$ est :
$$\begin{align*} I &= \int_{\text{e}^{-1}}^1 f(x) \mathrm{d}x \\\\
&= F(1)-F(\text{e}^{-1})\\\\
&= -\left(-1+\dfrac{(-1)^2}{2}\right) \\\\
&= \dfrac{1}{2}
\end{align*}$$
$\quad$
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