Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 : 3 points


Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

  1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.
  2. Il n’y a que dans la situation 2 que le signe de $\mathscr{C}_f$ correspond aux variations de $\mathscr{C}_F$.
    $\quad$
  3. Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
    • K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées.
    1. Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.
    2. L’aire de ce domaine est d’environ $0,5 \times 1 = 0,5$ u.a.
      $\quad$
    3. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
    4. Pour répondre à cette question, il faut être en mesure de déterminer la primitive dont une représentation graphique est fournie.
      Une primitive de $f$ est $F$ définie sur $[0;+\infty[$ par $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2} +C$.
      Une lecture graphique ne permet pas de déterminer précisément la valeur de $C$.
      Il n’est donc pas possible de fournir une valeur exacte de l’aire.
      $\quad$
      Remarque : Si on suppose que $F(1) = 0$ alors $C=0$ et $F(x)=\ln(x)+\dfrac{\left(\ln(x)\right)^2}{2}=\ln(x)\left(1+\dfrac{\ln(x)}{2}\right)$.
      L’abscisse de $K$ vérifie donc $1+\ln x = 0$ soit $x=\text{e}^{-1}$.
      L’abscisse de $L$ vérifie donc $1 + \dfrac{\ln x}{2} = 0$ soit $x=\text{e}^{-2}$ ou $\ln x=0$ soit $x=1$.
      Or son abscisse est supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Par conséquent $x_L = 1$.
      Ainsi l’aire du domaine cherchée, puisque la fonction $f$ est positive et continue sur $\left[e^{-1};1\right]$ est :
      $$\begin{align*} I &= \int_{\text{e}^{-1}}^1 f(x) \mathrm{d}x \\\\
      &= F(1)-F(\text{e}^{-1})\\\\
      &= -\left(-1+\dfrac{(-1)^2}{2}\right) \\\\
      &= \dfrac{1}{2}
      \end{align*}$$
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