Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
• la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=& \phantom{-}1 + t\\ z&=&-1 - t \end{array}\right. , \:t \in \mathbb R$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2. 1. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
   Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{AB}(-2;1;0)$.
   Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
   $$\begin{cases} x=-2k\\\\y=1+k \qquad k\in \mathbb R\\\\z=-1\end{cases}$$
   $\quad$ Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;1;-1)$
   Or $\dfrac{-2}{1} \ne \dfrac{1}{1}$
   Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ ne sont pas colinéaires.
   Les droites $(AB)$ et $\mathscr{D}$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$
   2. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
   Si les deux droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d’intersection sont solutions des deux représentations paramétriques.
   On doit donc résoudre :
   $$\begin{cases} -2k=-2+t \\\\1+k = 1+t \\\\-1=-1-t \end{cases} =\begin{cases} t=0\\\\k=1\\\\k=0 \end{cases}$$
   Ceci est impossible. Les deux droites ne sont donc pas sécantes.
   $\quad$
3. Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
   Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
Un vecteur directeur de $\mathscr{P}$ est $\vec{v}(1;1;-1) = \vec{u}$.
Le plan est donc orthogonal à la droite $\mathscr{D}$.
$-2+u+1+u-(-1-u)-3u = -2 +u+1+u+1+u-3u=0$.
Le point $M$ appartient bien au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
4. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
$-4+6u + 3-3u-(-1)-3u = -4 +6u+3-3u+1-3u=0$. Le point $N$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $k=2-3u$ dans la représentation paramétrique de $(AB)$ on retrouve les coordonnées de $N$. Ce point appartient donc également à $(AB)$.
Les coordonnées du point $A$ ne vérifient pas clairement l’équation de $\mathscr{P}$.
Par conséquent la droite $(AB)$ n’est pas incluse dans $\mathscr{P}$ et le point $N$ est bien le point d’intersection de $(AB)$ et $\mathscr{P}$.
$\quad$
5. 1. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
   On a $\vec{MN}(-2+5u;2-4u;u)$.
   Par conséquent $\vec{MN}.\vec{u} = (-2+5u) \times 1 + (2-4u) \times 1 + u \times(-1) = -2+5u+2-4u-u=0$.
   Donc $(MN)$ et $\mathscr{D}$ sont orthogonales.
   Or le point $N$ appartient aux deux droites; elles sont donc perpendiculaires.
   $\quad$
   
   2. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
   $\vec{AB}.\vec{MN} = -2(-2+5u)+1\times(2-4u) = 4-10u+2-4u=6-14u$.
   Ces deux droites sont orthogonales si, et seulement si, $6-14u=0$ c’est-à-dire $u=\dfrac{7}{3}$.
   Puisque le point $N$ appartient également à ces deux droites, elles sont perpendiculaires si $u=\dfrac{7}{3}$.
   $\quad$
6. 1. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
   
   $\begin{align*} MN^2 &= (-2+5u)^2+(2-4u)^2+u^2\\\\
   &=4-20u+25u^2+4-16u+16u^2+u^2\\\\
   &=8-36u+42u^2
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
   La distance $MN$ est minimale si $MN^2$ est minimale.
   Or $8-36u+42u^2$ est une expression du second degré minimale pour $u=\dfrac{36}{2\times 42}=\dfrac{3}{7}$.
   $\quad$