Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi la spécialité


Espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

  • les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
  • la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=& \phantom{-}1 + t\\ z&=&-1 - t \end{array}\right. , \:t \in \mathbb R$.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
    1. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
    2. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
  2. Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
    Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
  3. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
    1. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
    2. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
    1. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
    2. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.

 

Correction Exercice 3
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