Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2015.

Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Probabilités

Les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Partie 1
  1. Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)= \lambda\text{e}^{-\lambda x}\).
    1. Soit \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(0 < c < d\).
      Démontrer que la probabilité \(P(c \leq X \leq d)\) vérifie \(P(c \leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d}\).
    2. Déterminer une valeur de \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près de telle sorte que la probabilité \(P(X > 20)\) soit égale à 0,05.
    3. Donner l'espérance de la variable aléatoire \(X\). Dans la suite de l'exercice on prend \(\lambda = 0,15\).
    4. Calculer \(P(10\leq X \leq 20)\).
    5. Calculer la probabilité de l'événement \((X > 18)\).
  2. Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.
    1. Calculer la probabilité de l'événement \((20 \leq Y \leq 21)\).
    2. Calculer la probabilité de l'événement \((Y < 11) \cup (Y > 21)\).
Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

  1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
  2. Montrer qu'une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
  3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 € .
    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?

 


Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats

 


Probabilités

Les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Partie 1
  1. Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)= \lambda\text{e}^{-\lambda x}\).
    1. Soit \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(0 < c < d\).
      Démontrer que la probabilité \(P(c \leq X \leq d)\) vérifie \(P(c \leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d}\).
    2. \[\begin{array}{rl} P(c \leq X \leq d)& = \displaystyle\int_c^d \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x\\ &= \left [-\text{e}^{-\lambda x}\right ]_c^d\\ &= -\text{e}^{-\lambda c}-\left (-\text{e}^{-\lambda d}\right )\\ &= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d}\\ \end{array}\]
    3. Déterminer une valeur de \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près de telle sorte que la probabilité \(P(X > 20)\) soit égale à 0,05.
    4. \[\begin{array}{rl} P( X > 20)& = 1-P(X\leq 20)\\ &= 1-\left (\text{e}^{-\lambda \times 0}-\text{e}^{-\lambda \times 20}\right )\\ &= 1-\left (1-\text{e}^{-20\lambda} \right )\\ &= \text{e}^{-20\lambda } \\ \end{array}\]On veut \(P(X> 20)= 0,05\) \[\begin{array}{rl} P( X > 20)= 0,05 &\iff \text{e}^{-20\lambda } = 0,05\\ &\iff\ln \left ( \text{e}^{-20\lambda }\right )= \ln 0,05\\ &\iff -20\lambda =\ln(0,05) \\& \iff \lambda = \dfrac{\ln\left (\dfrac{1}{20}\right )}{-20}\\ & \iff \lambda = \dfrac{-\ln 20}{-20}\\ & \iff \lambda = \dfrac{\ln 20}{20}\\ & \iff \lambda \approx 0,150\\ \end{array}\]
    5. Donner l'espérance de la variable aléatoire \(X\). Dans la suite de l'exercice on prend \(\lambda = 0,15\).
    6. \[E(X)=\dfrac{1}{\lambda}= \dfrac{1}{0,15}=\dfrac{100}{15 }=\dfrac{20}{3}\approx 6,67\]
    7. Calculer \(P(10\leq X \leq 20)\).
    8. \[\begin{array}{rl} P(10 \leq X \leq 20)& = \text{e}^{-\lambda \times 10}-\text{e}^{-\lambda\times 20}\\ &= \text{e}^{-0,15 \times 10}-\text{e}^{-0,15\times 20}\\ &= \text{e}^{-1,5 }-\text{e}^{-3}\\ &\approx 0,173 \end{array}\]
    9. Calculer la probabilité de l'événement \((X > 18)\).
    10. \[\begin{array}{rl} P( X > 18)& = 1-P(X\leq 18)\\ &= 1-\left (\text{e}^{-\lambda \times 0}-\text{e}^{-\lambda \times 18}\right )\\ &= \text{e}^{-18\lambda } \\ &=\text{e}^{-18\times 0,15 }=\text{e}^{-2,7 }\\ &\approx 0,067 \end{array}\]
  2. Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.
    1. Calculer la probabilité de l'événement \((20 \leq Y \leq 21)\).
    2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( 20 , 21,16,1,95)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      \[NormalFR\text{é}p(20,21,16,1,95) \approx 0,015\]

      \[P(20 \leq Y \leq 21)\approx 0,015 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

       

    3. Calculer la probabilité de l'événement \((Y < 11) \cup (Y > 21)\).
    4. Les événements \((Y < 11)\) et \( (Y > 21)\) étant disjoints, on a : \[ P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=P(Y < 11) + P(Y > 21)\]

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \(-10^{99}\) , 11,\(16\)\(1,95\))EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      \[NormalFR\text{é}p(-10^{99},11,16,1,95) \approx 0,0052\]

      \[P( Y \leq 11)\approx 0,0052 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

       

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \(21\) , \(10^{99}\),16,\(1,95\))EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      \[NormalFR\text{é}p(21,10^{99},16,1,95) \approx 0,0052\]

      \[P( Y \geq 21)\approx 0,0052 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]
      Alors \[ P\left(((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=P(Y < 11) + P(Y > 21)\approx 0,0052+0,0052\approx 0,010\]Une autre méthode consiste à passer par l'événement contraire : \[P\left((Y < 11) \cup (Y > 21)\right)=1-P(11\leq Y\leq 21)\]

      2ND DISTR 2NORMALFRép( 11 , 21,16,1,95)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      \[NormalFR\text{é}p(11,21,16,1,95) \approx 0,990\]

      \[P(11 \leq Y \leq 21)\approx 0,990 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

       

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

  1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
  2. Un arbre pondéré représentant la situation :

    Les événements \(T\) « obtenir un bon d’achat d’une valeur de 30 euros » et \( C\) « obtenir un bon d’achat d’une valeur de 100 euros » sont disjoints.
    On appelle \(R\) l’événement « le bon d’achat est rouge ».
    On appelle \(S\) l’événement « Obtenir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros ».
    Par conséquent :
    \[\begin{array}{rl}P_R(S) &= P_R(T \cup C) \\ & = P_R(T) + P_R(C) \\ & = 0,015 + 0,01 \\ & = 0,025 \end{array}\]
  3. Montrer qu'une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    \[\begin{array}{rl} P(S) &= P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S\right) \\ &= 0,025 \times 0,25 + 0,067 \times 0,75 \\ &= 0,0565 \\ & \approx 0,057 \end{array}\]
  5. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 € .
    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?
  6. On calcule un intervalle de fluctuation \(I_{200}\) au seuil de 95% et on utilise le principe de décision suivant :
    • On calcule la fréquence observée sur l'échatillon : ici \(f_{Obs}= \dfrac{6}{200}=0,03\)
    • Si \(f_{Obs}\in I_{200}\), on ne remet pas en doûte la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    • Si \(f_{Obs}\notin I_{200}\), on ne remet pas en doûte la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

    La proportion \(p\) est égale à \(0,057\). La taille \(n\) de l'échantillon considéré est égale à \(200.\)
    Comme \( n =200\) , \(n \times p \)=11,4 et \(n\times (1-p)=188,6,\) les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : \[n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5\]


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\% \) est : \[I_{200} = \left[0,057 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}~;~0,057 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}} \right]\]

    • On arrondit la borne inférieure par défaut à \(10^{-3}\) près : \(0,057 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}\approx 0,0248\) soit \(0,024\).
    • On arrondit la borne supérieure par excés à \(10^{-3}\) près : \(0,057+ 1,96\sqrt{\dfrac{0,057\times 0,943}{200}}\approx 0,0891\) soit \(0,090\).


    L'intervalle de fluctuation au niveau de 95% est \[I_{200} = [0,024~;~0,090]\]

    Comme \(0,03\in I_{200}\), les doutes du directeur du magasin ne sont pas justifiés.

Exercice 2 3 points


Commun à tous les candidats


Géométrie

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A\((0~;~-1~;~5)\), B\((2~;~-1~;~5)\), C\((11~;~0~;~1)\), D\((11~;~4~;~4)\).
Un point \(M\) se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point \(N\) se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l'instant \(t = 0\) le point \(M\) est en A et le point \(N\) est en C. On note \(M_t\) et \(N_t\) les positions des points \(M\) et \(N\) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif. On admet que \(M_t\) et \(N_t\), ont pour coordonnées : \(M_t(t~;~-1~;~5)\) et \(N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)\).
Les questions \(1\) et \(2\) sont indépendantes.

    1. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
    2. La droite (CD) se trouve dans un plan \(\mathcal{P}\) parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan \(\mathcal{P}\).
    3. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan \(\mathcal{P}\), coupe ce plan au point E\((11~;~-1~;~5)\).
    4. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
    1. Montrer que \(M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138\).
    2. À quel instant \(t\) la longueur \(M_tN_t\) est-elle minimale?

 


Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats


Géométrie

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A\((0~;~-1~;~5)\), B\((2~;~-1~;~5)\), C\((11~;~0~;~1)\), D\((11~;~4~;~4)\).
Un point \(M\) se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point \(N\) se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l'instant \(t = 0\) le point \(M\) est en A et le point \(N\) est en C. On note \(M_t\) et \(N_t\) les positions des points \(M\) et \(N\) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif. On admet que \(M_t\) et \(N_t\), ont pour coordonnées : \(M_t(t~;~-1~;~5)\) et \(N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)\).
Les questions \(1\) et \(2\) sont indépendantes.

    1. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
    2. Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est \(\vec{AB}(2;0;0)\). On a donc \(\vec{AB}= 2 \vec{OI}\)
      La droite \((AB)\) est donc parallèle à la droite \((OI)\).
    3. La droite (CD) se trouve dans un plan \(\mathcal{P}\) parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan \(\mathcal{P}\).
    4. Un vecteur directeur de la droite \((CD)\) est \(\vec{CD}(0,4,3)\).
      Par conséquent \(\vec{CD} = 4\vec{OJ} + 3\vec{OK}\).
      La droite \((CD)\) est donc incluse dans un plan parallèle à \((OJK)\).
      \(\quad\)
      Un vecteur normal à ce plan est le vecteur \(\vec{OI}(1;0;0)\).
      Par conséquent une équation cartésienne de \(\mathscr{P}\) est de la forme \(x + d = 0\).
      Puisque le point \(C(11;0;1)\) appartient à ce plan, une équation est donc \(x – 11= 0\).
    5. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan \(\mathcal{P}\), coupe ce plan au point E\((11~;~-1~;~5)\).
    6. La droite \((AB)\) est parallèle à la droite \((OI)\) qui, d’après la question précédente, est orthogonale à \(\mathscr{P}\).
      Par conséquent la droite \((AB)\) est également orthogonale à \(\mathscr{P}\).
      Vérifions que le point \(E(11;-1;5)\) appartient bien à la droite \((AB)\) et au plan \(\mathscr{P}\).
      \(\vec{AE}(11;0;0)\) par conséquent \(\vec{AE}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires : \(E \in (AB)\).
      \(11 -11 = 0\) : \(E \in \mathscr{P}\)
      \(E\) est donc bien le point d’intersection de la droite \((AB)\) et du plan \(\mathscr{P}\).
    7. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
    8. Une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est : \(\begin{cases} x= t \\\\y=-1 \\\\z=5 \end{cases} \qquad t\in \mathbb R\).
      Une représentation paramétrique de la droite \((CD)\) est \(\begin{cases} x = 11 \\\\y = 4k \\\\z=1 +3k \end{cases} \qquad k\in \mathbb R\).
      Regardons si ces droites sont sécantes. Pour cela on résout le sytème :
      \(\begin{cases} t = 11 \\\\-1 = 4k \\\\5 = 1 +3k \end{cases} \iff \begin{cases} t = 11 \\\\k =-\dfrac{1}{4} \\\\k=\dfrac{4}{3}\end{cases}\).
      Ce système n’a donc pas de solution et les droites \((AB)\) et \((CD)\) ne sont pas sécantes.
    1. Montrer que \(M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138\).
    2. On a \(M_t(t;-1;5)\) et \(N_t(11;0,8t;1+0,6t)\)
      Par conséquent
      \[\begin{array}{rl} M_tN_t^2&=(11-t)^2 + (0,8t+1)^2+(1+0,6t-5)^2 \\ &= 121 – 22t + t^2 + 0,64t^2 + 1,6t + 1 + 16 +0,36t^2 -4,8t \\ & = 2t^2 -25,2 t +138 \end{array}\]
    3. À quel instant \(t\) la longueur \(M_tN_t\) est-elle minimale?
    4. On a la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(t) = 2t^2 -25,2 t +138\).
      Il s’agit donc d’une fonction du second degré avec : \(a=2\), \(b=-25,2\) et \(c=138\).
      Puisque \(a > 0\) le minimum est atteint pour \(x=\dfrac{-b}{2a} = 6,3\).
      Par conséquent la longueur \(M_tN_t\) est minimale pour \(t=6,3\) s.
      Remarque: On peut aussi bien sûr calculer la dérivée et étudier son signe : \[ f'(t)= 4t -25,2\]\[f'(t)> 0 \iff 4t -25,2 > 0 \iff t> 6,3\]

 

Une figure dynamique avec Geoebra  


Exercice 3 5 points


Nombres complexes

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[z^2 -8z+64 = 0\]Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
  2. On considère les points \(A, B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a=4 + 4\text{i}\sqrt 3, b= 4 - 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c = 8\text{i}\).
    1. Calculer le module et un argument du nombre \(a\).
    2. Donner la forme exponentielle des nombres \(a\) et \(b\).
    3. Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont sur un même cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) dont on déterminera le rayon.
    4. Placer les points \(A, B\) et \(C\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
    Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
  3. On considère les points \(A', B'\) et \(C '\) d'affixes respectives \(a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b' = b \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) et \(c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
    1. Montrer que \(b'= 8\) .
    2. Calculer le module et un argument du nombre \(a '\).
    Pour la suite on admet que \(a'=-4 + 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c'= - 4\sqrt 3+ 4\text{i}\) .
  4. On admet que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \([MN]\) a pour affixe \(\dfrac{m+n}{2}\) et longueur \( MN\) est égale à \(|n - m|\).
    1. On note \(r, s\) et \(t\) les affixes des milieux respectifs \(R, S\) et \(T\) des segments \([A' B], [B' C] \) et \([C'A]\).
      Calculer \(r\) et \(s\) . On admet que \(t= 2-2\sqrt 3 + \text{i}\left ( 2+2\sqrt 3\right )\)
    2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle \(RST\) ? Justifier ce résultat.

 


Correction de l'exercice 3 (5 points)

 


Nombres complexes

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[z^2 -8z+64 = 0\]
  2. \(\Delta = -192<0\)
    Il y a donc deux solutions complexes conjuguées:
    \(z_1 = \dfrac{8 -8\text{i}\sqrt{3}}{2} = 4 – 4\text{i}\sqrt{3}\) et \(z_2 = \overline{z_1} = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}\).
    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
  3. On considère les points \(A, B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a=4 + 4\text{i}\sqrt 3, b= 4 - 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c = 8\text{i}\).
    1. Calculer le module et un argument du nombre \(a\).
    2. \(|a| = \sqrt{4^2 + 4^2 \times 3} =8\).
      Ainsi \(a = 8 \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\right) \).
      Par conséquent un argument de \(a\) est \(\dfrac{\pi}{3}\).
    3. Donner la forme exponentielle des nombres \(a\) et \(b\).
    4. \(a = 8\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) et \(b = \overline{a} = 8\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}\)
    5. Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont sur un même cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) dont on déterminera le rayon.
    6. \(|a|=|b|=|c| = 8\).
      Par conséquent les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(8\).
    7. Placer les points \(A, B\) et \(C\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
    Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
  4. On considère les points \(A', B'\) et \(C '\) d'affixes respectives \(a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b' = b \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) et \(c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
    1. Montrer que \(b'= 8\) .
    2. \(b’=b\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) \( = 8\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} = 8\).
    3. Calculer le module et un argument du nombre \(a '\).
    4. \(a’ = a\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \) \(=8\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) \(=8\text{e}^{2\text{i} \frac{\pi}{3}}\)
      Par conséquent \(|a’| = 8\) et un argument de \(a’\) est \(\dfrac{2\pi}{3}\).
    Pour la suite on admet que \(a'=-4 + 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c'= - 4\sqrt 3+ 4\text{i}\) .
  5. On admet que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \([MN]\) a pour affixe \(\dfrac{m+n}{2}\) et longueur \( MN\) est égale à \(|n - m|\).
    1. On note \(r, s\) et \(t\) les affixes des milieux respectifs \(R, S\) et \(T\) des segments \([A' B], [B' C] \) et \([C'A]\).
      Calculer \(r\) et \(s\) . On admet que \(t= 2-2\sqrt 3 + \text{i}\left ( 2+2\sqrt 3\right )\)
    2. \(r=\dfrac{-4+4\text{i}\sqrt{3}+4-4\text{i}\sqrt{3}}{2} = 0\)
      \(\quad\)
      \(s=\dfrac{8 + 8\text{i}}{2} = 4 + 4\text{i}\)
    3. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle \(RST\) ? Justifier ce résultat.
    4. Il semble que \(RST\) soit équilatéral.
      On a
      \[\begin{array}{rl} RS &= |s-r| \\ & = |4 + 4\text{i}| \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \end{array}\]
      \(\quad\)
      \[\begin{array}{rl} ST &= |t-s| \\ &= \left|-2 – 2\sqrt{3} + \text{i}\left(-2 + 2\sqrt{3}\right)\right| \\ &= \sqrt{\left(-2 – 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(-2 + 2\sqrt{3}\right)^2 }\\ &= \sqrt{4 + 12 + 8\sqrt{3} + 4 + 12 -8\sqrt{3}}\\ & =\sqrt{32} \\ & = 4\sqrt{2} \end{array}\]
      \(\quad\)
      \[\begin{array}{rl} RT &=|t – r| \\ & = \left|2 – 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)\right| \\ &=\sqrt{\left(2 – 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(2 + 2\sqrt{3}\right)^2 }\\ &= \sqrt{4 + 12 – 8\sqrt{3} + 4 + 12 8\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{32}\\ & = 4\sqrt{2}
      \end{array}\]
      Par conséquent \(RS = RT = ST\).
      Le triangle \(RST\) est donc équilatéral.

Exercice 4 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. On considère l'équation (E) à résoudre dans \(\mathbb Z\) : \[7 x - 5 y = 1.\]
    1. Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).
    2. Montrer que le couple d'entiers \((x ; y) \) est solution de (E) si et seulement si \(7(x - 3) = 5(y - 4)\).
    3. Montrer que les solutions entières de l'équation CE) sont exactement les couples \((x~;~y)\) d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5k + 3\\ y &=&7k + 4 \end{array}\right.\:\text{ où } k \in \mathbb Z.\]
  2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a \(x\) jetons rouges et \(y\) jetons verts. Sachant que \(7x - 5 y = 1\), quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?
    Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.
  3. On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. A chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.
    • Lorsqu'on est en A :
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
    • Lorsqu'on est en C :
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.
    • Au départ, le pion est sur le sommet A.
    Pour tout entier naturel \(n\), on note \(a_n\) \(b_n\) et \(c_n\) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \(n\).
    On note \(X_n\) la matrice ligne \(\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}\) et \(T\) la matrice \(\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\ 0,12 &0,72 &0,16\\ 0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}\).
    Donner la matrice ligne \(X_0\) et montrer que, pour tout entier naturel \(n\),  \(X_{n+1} = X_nT\).
  4. On admet que \(T = PDP^{-1}\) où \(P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\ \frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}\).
    1. À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice \(P\). On pourra remarquer qu'ils sont entiers.
    2. Montrer que \(T^n = PD^nP^{-1}\).
    3. Donner sans justification les coefficients de la matrice \(D^n\). On note \(\alpha_n,\:\beta_n,\:\gamma_n\) les coefficients de la première ligne de la matrice \(T^n\) ainsi : \[T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}.\]On admet que \(\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n\) et \(\beta_n = \dfrac{37 - 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}\).
      On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
  5. On rappelle que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n = X_0T^n\).
    1. Déterminer les nombres \(a_n\), \(b_n\), à l'aide des coefficients \(\alpha_n\) et \(\beta_n\). En déduire \(c_n\).
    2. Déterminer les limites des suites \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) et \(\left(c_n\right)\).
    3. Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire?

 


Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

  1. On considère l'équation (E) à résoudre dans \(\mathbb Z\) : \[7 x - 5 y = 1.\]
    1. Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).
    2. $7 \times 3 – 5\times 4 = 21 – 20 = 1$
      Le couple $(3;4)$ est donc solution de $(E)$.
    3. Montrer que le couple d'entiers \((x ; y) \) est solution de (E) si et seulement si \(7(x - 3) = 5(y - 4)\).
    4. Soit $(x;y)$ un autre couple solution de $(E)$.
      On a alors $7x – 5y = 1$ et $7 \times 3 – 5 \times 4 = 1$
      Par différence on obtient :
      $7(x-3) – 5(y – 4) = 0$
      Donc $7(x-3) = 5(y-4)$
      $\quad$
      Réciproquement: soit $(x;y)$ un couple vérifiant $7(x-3) = 5(y-4)$
      Alors $7x – 21 = 5y – 20$ donc $7x – 5y = 1$
      $(x;y)$ est donc solution de $(E)$.
      $\quad$
      Le couple $(x;y)$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, $7(x-3) = 5(y-4)$.
      $\quad$
    5. Montrer que les solutions entières de l'équation CE) sont exactement les couples \((x~;~y)\) d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5k + 3\\ y &=&7k + 4 \end{array}\right.\:\text{ où } k \in \mathbb Z.\]
    6. $7$ et $5$ sont premiers entre eux.
      D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
      $x-3 = 5k$ et $y-4 = 7k$ soit $x=3+5k$ et $y=4+7k$.
      $\quad$
      Réciproquement, soit $k$ un entier relatif
      $7(5k+3) – 5(4+7k) = 35k + 21 – 20 – 35k = 1$
      $\quad$
      Les solutions de l’équation $(E)$ sont les couples $(x;y)$ d’entiers relatifs tels que $\begin{cases} x=5k+3 \\\\y=7k+4\end{cases} \qquad k\in \mathbb Z$.
  2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a \(x\) jetons rouges et \(y\) jetons verts. Sachant que \(7x - 5 y = 1\), quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?
    Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.
  3. On cherche les valeurs de $k$ telles que $0 \le 5k + 3 \le 25$ et $0 \le 7k + 4 \le 25$
    $0 \le 5k + 3 \le 25 \iff -3 \le 5k \le 22 \iff -\dfrac{3}{25} \le k \le \dfrac{22}{3}$ donc $k \in\lbrace0;1;2;3;4;5;6;7\rbrace$
    $\quad$
    $0 \le 7k + 4 \le 25 \iff -4 \le 7k \le 21 \iff -\dfrac{4}{7} \le k \le 3$ donc $k \in\lbrace 0;1;2;3 \rbrace$.
    On veut de plus que $25 – (5k+3 + 7k + 4) \ge 0$ soit $18 – 12k \ge 0$ donc $k \in \lbrace 0;1 \rbrace$.
    On peut donc avoir :
    $3$ jetons rouges, $4$ jetons verts et $18$ jetons blancs $\quad$ ou $\quad$ $8$ jetons rouges, $11$ jetons verts et $6$ jetons blancs .
  4. On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. A chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.
    • Lorsqu'on est en A :
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
    • Lorsqu'on est en C :
    • Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.
    • Au départ, le pion est sur le sommet A.
    Pour tout entier naturel \(n\), on note \(a_n\) \(b_n\) et \(c_n\) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \(n\).
    On note \(X_n\) la matrice ligne \(\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}\) et \(T\) la matrice \(\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\ 0,12 &0,72 &0,16\\ 0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}\).
    Donner la matrice ligne \(X_0\) et montrer que, pour tout entier naturel \(n\),  \(X_{n+1} = X_nT\).
  5. Comme au départ c'est-à-dire pour $n=0$, le pion est en A, on peut dire que $X_0 = \begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    D'après le texte, on tire au hasard un pion dans la boîte, donc il y a équiprobabilité. Il y a 3 pions rouges sur 25 donc la probabilité de tirer un pion rouge est $\dfrac{3}{25}=0,12$.
    On calcule de même la probabilité de tirer un pion vert: $\dfrac{4}{25}=0,16$ et la probabilité de tirer un pion blanc: $\dfrac{18}{25}=0,72$.
    On cherche la probabilité $a_{n+1}$ qu'à l'étape $n+1$ le pion soit en A.
    On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré ;

    A chaque étape , en utilisant la formule des probabilités totales, on a :
    $a_{n+1} = \dfrac{18}{25}a_n + \dfrac{3}{25} b_n + \dfrac{3}{25}c_n = 0,72a_n + 0,12b_n + 0,12c_n$
    $\quad$
    $b_{n+1} = \dfrac{3}{25}a_n + \dfrac{18}{25}b_n + \dfrac{4}{25}c_n = 0,12a_n+0,72b_n+0,16c_n$
    $\quad$
    $c_{n+1} = \dfrac{4}{25}a_n + \dfrac{4}{25}b_n + \dfrac{18}{25}c_n = 0,16a_n+0,16b_n+0,72c_n$
    $\quad$
    On a donc bien $X_{n+1} = X_nT$
  6. On admet que \(T = PDP^{-1}\) où \(P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\ \frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}\).
    1. À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice \(P\). On pourra remarquer qu'ils sont entiers.
    2. On a $P = \begin{pmatrix} 1&7&4 \\1&-3&4\\1&-3&-7\end{pmatrix}$
      $\quad$
    3. Montrer que \(T^n = PD^nP^{-1}\).
    4. Raisonnons par récurrence :
      Initialisation : Si $n=0$ alors $PD^0P^{-1} = PP^{-1} = I_3 = D^0$
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $T^n=PD^nP^{-1}$
      Alors $T^{n+1} = T^n T =$ $=PD^nP^{-1}PDP^{-1}$ $=PD^{n+1}P^{-1}$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $T^n = PD^nP^{-1}$.
      $\quad$
    5. Donner sans justification les coefficients de la matrice \(D^n\). On note \(\alpha_n,\:\beta_n,\:\gamma_n\) les coefficients de la première ligne de la matrice \(T^n\) ainsi : \[T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}.\]On admet que \(\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n\) et \(\beta_n = \dfrac{37 - 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}\).
      On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
    6. $$D^n = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\0&0,6^n&0\\0&0&0,56^n\end{pmatrix}$$
  7. On rappelle que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n = X_0T^n\).
    1. Déterminer les nombres \(a_n\), \(b_n\), à l'aide des coefficients \(\alpha_n\) et \(\beta_n\). En déduire \(c_n\).
    2. On a :
      $a_n = 1 \times \alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n$
      $\quad$
      $b_n = 1 \times \beta_n = \dfrac{37 – 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}$
      $\quad$
      On sait que $a_n+b_n+c_n = 1$ donc
      $$\begin{array}{rl} c_n &= 1 -a_n – b_n \\ &= \dfrac{7}{10} – \dfrac{7}{10}\times 0,6^n – \dfrac{37 – 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110} \end{array}$$
    3. Déterminer les limites des suites \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\) et \(\left(c_n\right)\).
    4. $0 < 0,6<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,6^n = 0$ et $0 < 0,56 < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,56^n = 0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = \dfrac{3}{10}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}b_n = \dfrac{37}{110}$
      Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n = \dfrac{7}{10} – \dfrac{37}{110} = \dfrac{4}{11}$
    5. Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire?
    6. On a $\dfrac{4}{11} > \dfrac{37}{110} > \dfrac{3}{10}$.
      Au bout d’un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire, on a plus de chance de se trouver sur le sommet $C$.

 

 


Exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD\('\)D, DD\('\)C\('\)C, et OAB\('\)B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD\('\) = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère (O, I, J).

Partie 1
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0~;~20]\), on a \(f'(x) = \ln (x + 1) -2\).
  2. En déduire les variations de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\), et dresser son tableau de variation.
  3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\).

  4. La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

  5. On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \(g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)\).
    Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\).

 

Partie 2


Les trois questions de cette partie sont indépendantes

  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    • P\(_1\) : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • P\(_2\) : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
  2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m\(^2\) par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
  3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points \(B_k(k~;~f(k))\) pour \(k\) variant de 0 à 20. Ainsi, \(B_0 =\) B.
    On décide d'approcher l'arc de la courbe \(\mathcal{C}\) allant de \(B_k\) à \(B_{k+1}\) par le segment \(\left[B_kB_{k+1}\right]\). Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k\) (voir figure).
    1. Montrer que pour tout entier \(k\) variant de 0 à 19, \(B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}\).
    2. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } \ldots \text{ à } \ldots\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } \ldots \ldots\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}\]

Correction de l'exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD\('\)D, DD\('\)C\('\)C, et OAB\('\)B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD\('\) = 10, sa longueur OD est de 20~mètres.

Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère (O, I, J).

Partie 1
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0~;~20]\), on a \(f'(x) = \ln (x + 1) -2\).
  2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    \[\begin{array}{rl} f'(x) &= \ln(x+1) + \dfrac{x+1}{x+1} – 3 \\ & = \ln(x+1) + 1 – 3 \\ & = \ln(x+1) – 2
    \end{array}\]
    \(\quad\)
  3. En déduire les variations de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~20]\), et dresser son tableau de variation.
  4. \[\begin{array}{rl} f'(x) \ge 0 & \iff \ln(x+1) – 2 \ge 0 \\ &\iff \ln(x+1) \ge 2 \\ & \iff x+ 1 \ge \text{e}^2 \\\
    & \iff x \ge \text{e}^2 – 1
    \end{array}\]
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    \(f\left(\text{e}^2-1\right)= (\text{e}^2-1 + 1)\ln (\text{e}^2-1 + 1) - 3\left(\text{e}^2-1\right) + 7 = 10-\text{e}^2\approx 2,61\)
    \(f(20) = 21\ln(21) -53 \approx 10,93\)
  5. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(0\)
  6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d’abscisse \(0\) est :
    \(f'(0) = -2\).


    La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

  7. On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\]a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \([0~;~20]\) par \(g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)\).
    Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0~;~20].
  8. Tout d'abord on remarque que \[f(x)= g'(x)-3x+7\]

    Une primitive de \(f\) est \(F\) définie sur \([0;20]\) par
    \[\begin{array}{rl} F(x)& = g(x) – \dfrac{3}{2}x^2 + 7x\\ &=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1) – \dfrac{1}{4}x^2 – \dfrac{1}{2}x – \dfrac{3}{2}x^2 + 7x \\ &= \dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1) -\dfrac{7}{4}x^2 + \dfrac{13}{2}x \end{array}\]

Partie 2


Les trois questions de cette partie sont indépendantes

  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    • P\(_1\) : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
    • P\(_2\) : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
  2. La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est :
    \(f(20) – f\left(\text{e}^2-1\right) \approx 8,32\)
    L’affirmation $P_1$ est donc vraie. \(f'(20) = \ln(21) – 2 \approx 1,04\)
    L’inclinaison au point \(C\) est de \(2\) et celle en \(B\) est d’environ \(1,04 \approx \dfrac{2}{1}\).
    L’affirmation $P_2 $ est donc vraie
  3. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m\(^2\) par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
  4. L’aire de la surface \(OBCD\) correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe \(\mathscr{C}\) et l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=20\).
    Il s’agit donc, en mètres carré, de
    \[\begin{array}{rl} A_1 &= \displaystyle \int_0^{20} f(x) \\ &= F(20) – F(0) \\ &= \dfrac{21^2\ln(21)}{2} -700+130\\ &= \dfrac{21^2\ln(21)}{2} -570\\ &= \dfrac{441\ln(21)}{2} – 570 \end{array}\]
    L’aire de \(OAB’B\) est \(A_2 = 10 \times 7 = 70 \text{ m}^2\)
    L’aire de \(DD’C’C\) est \(A_3 = 10 \times f(20) \approx 109,3 \text{ m}^2\).
    La surface a peindre est donc de \(2\times A_1 + A_2+A_3 \approx 381,9 \text{ m}^2\).
    Or \(\dfrac{381,9}{5} \approx 76,38\).
    Il faut donc prévoir au minimum \(77\) litres de peinture.
    \(\quad\)
  5. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points \(B_k(k~;~f(k))\) pour \(k\) variant de 0 à 20. Ainsi, \(B_0 =\) B.
    On décide d'approcher l'arc de la courbe \(\mathcal{C}\) allant de \(B_k\) à \(B_{k+1}\) par le segment \(\left[B_kB_{k+1}\right]\). Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k\) (voir figure).
    1. Montrer que pour tout entier \(k\) variant de 0 à 19, \(B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}\).
    2. On a \(\vec{B_kB_{k+1}}:\begin{pmatrix} k+1-k\\ f(k+1)-f(k) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ f(k+1)-f(k) \end{pmatrix}\) \[\begin{array}{rl} B_kB_{k+1} & = \sqrt{(k+1 – k)^2 + \left(f(k+1) – f(k)\right)}^2 \\ & = \sqrt{1 + \left(f(k+1) – f(k)\right)^2}
      \end{array}\]
    3. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } \ldots \text{ à } \ldots\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } \ldots \ldots\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}\]
    4. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables} &S : \text{ réel }\\ &K : \text{ entier }\\ \text{Fonction } &f : \text{définie par } f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7\\ \hline \text{Traitement }&S \text{ prend pour valeur } 0\\ &\text{ Pour } K \text{ variant de } 0\text{ à }19\\ &\hspace{1cm}S \text{ prend pour valeur } S + 10\sqrt{1 + \left(f(k+1) – f(k)\right)^2}\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \text{ Sortie } &\text{ Afficher } S\\ \hline \end{array}\]