Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k& & 1&2 \\ \hline u&5&1&-0,5\\ \hline \end{array}$
On obtient donc en sortie $-0,5$

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
Variables :
$\quad$ $k$ et $p$ sont des entiers naturels
$\quad$ $u$ est un réel
Entrée :
$\quad$ Demander la valeur de $p$
Traitement :
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $5$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $p$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k-1) – 1,5$
$\qquad$Afficher $u$
$\quad$ Fin de pour
$\quad$
2. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} $$ Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier.
On constate que $u_3<u_4$. La suite $(u_n)$ n’est donc pas décroissante.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
Initialisation : Si $n= 3$ $ -0,375 >-0,75$ donc $u_4 > u_3$
La propriété est donc vraie au rang $3$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} > u_n$.
Alors
$ 0,5u_{n+1} > 0,5u_n $
Donc $0,5u_{n+1} +0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5(n+1) > 0,5u_n + 0,5n$
Par conséquent $0,5u_{n+1} + 0,5(n+1) – 1,5 > 0,5u_n + 0,5n – 1,5$
Finalement $u_{n+2} > u_{n+1}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion :
La propriété est vraie au rang $3$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$, $u_{n+1} > u_n$.

4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
$$\begin{array}{rl} v_{n+1} &= 0,1u_{n+1} – 0,1(n+1) + 0,5 \\ &= 0,05u_n + 0,05n – 0,15 – 0,1n – 0,1 + 0,5 \\ &= 0,05u_n – 0,05n +0,25 \\ &= 0,5(0,1u_n – 0,1n + 0,5) \\ &=0,5v_n\end{array}$$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0 = 0,1 \times 5 + 0,5 = 1$
$\quad$
Par conséquent $v_n = 0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
On a $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$, on obtient en multipliant par 10: $$10 v_n = u_n - n + 5$$ On a ainsi
$$\begin{array}{rl} u_n &= 10v_n + n – 5 \\ &=10 \times 0,5^n + n – 5\end{array}$$

6. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$ $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$
De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} n – 5 =+\infty $
Donc par somme des limites, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$