Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Partie A

On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables }: &k \text{ et } p \text{ sont des entiers naturels }\\ &u \text{ est un réel }\\ \text{ Entrée : }& \text{ Demander la valeur de } p\\ \text{ Traitement :} & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Pour }k \text{ variant de 1 à } p\\ &\hspace{0.6mm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5\\ &\hspace{0.3mm}\text{ Fin de pour }\\ \text{Sortie:}& \text{ Afficher }u\\ \hline \end{array} $$ Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ?

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\]

1. Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
2. À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4\\ \hline u_n &1 & - 0,5 & -0,75 & - 0,375\\ \hline \end{array} $$ Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\]
6. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.