Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B

Partie A


On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, \[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par \[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels. On admet que la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$.

  1. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\]
  2. $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t &= F(x) – F(0) \\ &= -\left(x + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda x} – \left(-\dfrac{1}{\lambda}\right) \\ & = \dfrac{1}{\lambda}\left(1 – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} – \text{e}^{-\lambda x}\right)\end{array}$$
  3. En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
  4. $\displaystyle E(X) = \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -\lambda x = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} X\text{e}^X = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} = 0$
    $\quad$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\lambda x} = 0$
    $\quad$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 – \lambda x\text{e}^{-\lambda x} – \text{e}^{-\lambda x}\right) = 1$
    $\quad$
    On a donc bien $E(X) =\dfrac{1}{\lambda}$.

 

Partie B


La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}.

  1. Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) :
    1. Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$.
    2. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
    3. On remarque que si $f(x)= \lambda \text{e}^{-\lambda x}$ alors $f(0)=\lambda$ Graphiquement $\lambda$ est l’ordonnée du point de la courbe représentant la fonction densité dont l’abscisse est $0$.
  2. On suppose que $E(X) = 2$.
    1. Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
    2. $E(X) = 2$. Cela signifie qu’en moyenne, le composant électronique a une durée de vie de $2$ ans.
    3. Calculer la valeur de $\lambda$.
    4. On a donc $\dfrac{1}{\lambda} = 2$ d’où $\lambda = 0,5$.
    5. Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. Interpréter ce résultat.
    6. $P(X \le 2) = 1 – \text{e}^{-0,5 \times 2} = 1 – \text{e}^{-1} \approx 0,63$
      $\quad$
    7. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
    8. On veut donc calculer :
      $$\begin{array}{rl} P_{X \ge 1}(X \ge 3) &= P_{X \ge 1}(X \ge 2 + 1) \\ & = P(X \ge 2) \\ & = 1 – P(X \le 2) \\ & = \text{e}^{-1}\end{array}$$
      (du fait de la durée de vie sans vieillissement).
      On peut aussi procéder au calcul de la façon suivante : $$\begin{array}{rll} P_{X \ge 1}(X \ge 3) &= \dfrac{P(X \ge 1)\cap(X \ge 3)}{P(X\geq 1)}& \text{ car } P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\ & =\dfrac{P( (X \ge 3)}{P(X\geq 1)}& \text{ car } (X \ge 3)\subset (X\geq 1) \\ & = \dfrac{ \text{e}^{-3\lambda} }{\text{e}^{-\lambda}}&\text{ car } P(X \leqslant t)=\text{e}^{-\lambda t} \\ & = \text{e}^{-2\lambda }&\\ & = \text{e}^{-1}& \text{ car } \lambda = 0,5 \end{array}$$

 

Partie C


Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
On note $D_1$ l'évènement « le composant 1 est défaillant avant un an »  et on note $D_2$ l'évènement « le composant 2 est défaillant avant un an ».
On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

  1. Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
  2. On veut donc calculer $P\left(D_1 \cap D_2\right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2\right)$ car les deux événements sont indépendants.
    Ainsi $P\left(D_1 \cap D_2\right) = 0,39^2 = 0,1521$
    La probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an est de $0,1521$.
  3. Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
  4. On veut calculer :
    $$\begin{array}{rl}P\left(D_1 \cup D_2\right) & = P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) – P\left(D_1 \cap D_2\right) \\ &= 0,39 + 0,39 – 0,1521 \\ &=0,6279\end{array}$$
    La probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an est de $0,6279$.
Exercice 3
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