Exercices corrigés, Calculs de limites

1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x}{x^2} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^+$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2-4x}{x^3+3x^2+2x +6}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2}{x^3}$ $ = \dfrac{-4}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
   $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-3x -10} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3}{x^2}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
   $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2}{4x^2} $ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.

1. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$. Tel quel, on est en présence d’une forme indéterminée.
   Essayons de factoriser $-2x^2-x+3$. $\Delta = 1+24 = 25 >0$.
   Il y a donc deux racines réelles. $x_1 = \dfrac{1 – 5}{-4} = 1$ et $\dfrac{1+5}{-4} = -\dfrac{3}{2}$.
   Ainsi $\dfrac{-2x^2-x+3}{x-1} = \dfrac{-2(x -1)\left(x + \dfrac{3}{2} \right)}{x-1} =-2\left( x + \dfrac{3}{2}\right)$ pour tout $x \ne 1$.
   Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 1} -2\left(x + \dfrac{3}{2}\right) = -5$
   $\quad$
2. On constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
   $\dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8} = \dfrac{x(x+4)}{-(x -2)(x +4)}$ $=\dfrac{-x}{x -2}$ pour $x \ne -4$
   Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{-x}{x -2} = – \dfrac{2}{3}$
   $\quad$
3. On constate encore une fois que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
   $\dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}} $ $= \dfrac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}$ $= \dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ pour tout $x \ne 2$.
   Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)(x+2)$ $=-8\sqrt{2}$
   $\quad$
4. Là encore, on constate que le numérateur et le dénominateur vont tendre vers $0$.
   $\dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81} = \dfrac{\sqrt{9-x}}{(x – 9)(x + 9)} = \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ pour $x\ne 9$.
   Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{-1}{(x + 9)\sqrt{9 – x}}$ $ = -\infty$

Étudions tout d’abord les limites en $\pm \infty$.

D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$

La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc une asymptote horizontale d’équation $y=1$.

$\quad$

Étudions maintenant les limites en $-2$

$\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (x^2+5x + 1) = -5$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} x^2+x-2 = 0^+$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} f(x)= +\infty$

$\quad$

Étudions enfin les limites en $1$

$\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+5x+1=8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+x-2=0^-$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=+\infty$

$\quad$

Ainsi la courbe représentative de $f$ possède également deux asymptotes verticales d’équation $x=1$ et $x=-2$.

1. D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :
   $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = $ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3$
   De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3$.
   $\quad$
   Par conséquent $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=3$
2. Étudions le signe de $f(x)-3$
   $\begin{align} f(x)-3 &= \dfrac{3x^2-4}{x^2-1} – 3 \\\\
   &= \dfrac{3x^2-4 -3^\left(x^2-1\right)}{x^2-1} \\\\
   &= \dfrac{-1}{x^2-1}
   \end{align}$
   $x^2-1$ est positif sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$ et négatif sur $]-1;1[$.
   $\quad$
   Par conséquent $\mathscr{C}_f$ est au dessus de l’asymptote horizontale sur $]-1;1[$ et au-dessous sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$
   $\quad$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) = +\infty$
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = -\infty$
   $\quad$
4. On en déduit donc que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote verticale d’équation $x=1$.
   $\quad$
5. $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} x^2-1 = 0^+$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) = -\infty$
   $\quad$
   $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} x^2-1 = 0^-$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} f(x) = +\infty$
   $\quad$
   $\mathscr{C}_f$ possède donc une seconde asymptote verticale d’équation $x=-1$.