Rédigé par Luc Giraud le 23 juillet 2019 . Publié dans Exercices TS .
Récurrence : des exercices avec corrigé
$$
\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}
\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}
\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}
\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}
\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}
\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}
\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}
\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}
\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}
\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}
\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}
\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}
\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}
\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}
\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}
\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}
\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}
\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
\newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$
Quelques exercices pour s'entraîner…
I
Exercice 1
Enoncé
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$
Corrigé
Initialisation : Pour $n=0$ $S_n =0$ et $\dfrac{0 \times (0+1)}{2} = 0$.
la propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
$$\begin{array}{ll} S_{n+1} &= 0+1+2+\ldots+n+(n+1) \\ &= S_n + (n+1) \\& = \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1\\& = \dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\& = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb N$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Exercice 2
Enoncé $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Corrigé
Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1^2 = 1$ et $\dfrac{1(1+1)(2\times 1 + 1)}{6} = 1$.
La propriété est vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$$\begin{array}{ll} S_{n+1}& = 1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\& = S_n + (n+1)^2 \\ &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\ &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\& = \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1) \end{array}$$
On voulait montrer que $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En supposant la propriété vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour entier $n \ge 1$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Exercice 3
Enoncé Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a
$$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$$
Corrigé
Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1 = \dfrac{1}{1\times (1+1)} = \dfrac{1}{2}$.
Or $1-\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ :
$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$
Au rang $n+1$ on a donc :
$$\begin{array}{ll} S_{n+1}&= \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\ & = 1-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\& =1 – \dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\& =1 – \dfrac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\& =1- \dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)} \\ &=1-\dfrac{1}{n+2} \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a $S_n = 1 – \dfrac{1}{n+1}$
Exercice 4
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n\in \mathbb N$.
Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb N$, $0 < u_n <2$.
Corrigé
Initialisation : $u_0 = 1$ donc $0<u_0\le 2$.
La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n < 2$.
Donc $2<2+u_n < 4$ et $\sqrt{2} < \sqrt{2+u_n}<\sqrt{4}$
Finalement $0 < \sqrt{2} < u_{n+1} < 2$
La propriété est vraie au rang $n+1$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb N$, $0 < u_n <2$.
Exercice 5
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$.
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.
Corrigé
Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 2$ et $\dfrac{2}{2\times 0 + 1} = 2$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.
Alors :
$$\begin{array}{ll} u_{n+1} & = \dfrac{u_n}{1+u_n} \\& = \dfrac{\dfrac{2}{2n+1}}{1+\dfrac{2}{2n+1}} \\ &= \dfrac{2}{2n+1 + 2}\\& = \dfrac{2}{2n+3}\\& =\dfrac{2}{2(n+1)+1}\end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb N$ on a $ u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.
Exercice 6
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n – 1$ pour tout $n \in \mathbb N$.
Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n = 2^{n+1}+1$.
Initialisation : Si $n=0$, $u_0=3$ et $2^{0+1}+1 = 2 + 1 =3$.
La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $u_n = 2^{n+1}+1$.
$$\begin{array}{ll} u_{n+1}& = 2u_n – 1 \\ &= 2 \times \left( 2^{n+1}+1 \right) – 1 \\ &= 2^{n+2} + 2 – 1 \\ & = 2^{n+2} + 1 \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n\in \mathbb N$ on a $u_n = 2^{n+1}+1$.
Exercice 7
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$.
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$ on a $ 0 < u_n \le 1$.
Corrigé
Initialisation : Si $n=1$ alors $u_1 = \dfrac{1+2u_0}{2+u_0} = \dfrac{1}{2}$ . Donc $0<u_1\le 1$.
La propriété est vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. Donc $ 0 < u_n \le 1$.
On a donc :
$u_n > 0$ donc $1+2u_n > 0$ et $2+u_n > 0$. Par conséquent $u_{n+1} > 0$
$u_{n+1} – 1 = \dfrac{1+2u_n}{2+u_n} – 1 = \dfrac{u_n-1}{2+u_n}$ Or $u_n \le 1$ cela signifie donc que $u_n-1 \le 0$ et par conséquent $u_{n+1} – 1 \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb N^*$ on a $ 0 < u_n \le 1$.
Exercice 8
Enoncé
Soit $a\in \mathbb R^+$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$ on a $(1+a)^n \ge 1+na$
Corrigé
Initialisation : si $n=0$ alors $(1+a)^0 = 1$ et $1+ 0 \times a = 1$. $1 \ge 1$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $(1+a)^n \ge 1+na$.
$$\begin{array}{ll} (1+a)^{n+1} &= (1+a) \times (1+a)^n \\ & \ge (1+a) \times (1+na) \\ & \ge 1 + na + a + na^2 \\ & \ge 1 + (n+1)a + na^2 \end{array}$$
Or $na^2 \ge 0$ donc $(1+a)^{n+1} \ge 1 + (n+1)a$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb N$ on a $(1+a)^n \ge 1+na$.
Exercice 9
Enoncé
Soit $f $ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ pour tout $x \ne 1$.
Démontrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ où $f^{(n)}$ désigne la dérivée $n^{\text{ième}}$ de $f$ et $n! = 1\times 2\times 3\times \ldots \times n$.
Corrigé
Initialisation : $f$ est dérivable sur $I=]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $I$.
Si $n= 1$ alors $f'(x) = \dfrac{-(-1)}{(1-x)^2}$ et $\dfrac{1!}{(1-x)^{1+1}} = \dfrac{1}{(1-x)^{2}}$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $f^{(n)} = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.
La fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$.
$$\begin{array}{ll} f^{(n+1)}(x) &= \left( f^{(n)}\right)’ (x) \\ &= \dfrac{-n! \times (n+1) \times (-1) \times (1-x)^n}{(1-x)^{2(n+1)}}\\ &= \dfrac{(n+1)! \times (1-x)^n}{(1-x)^{2n+2}}\\ &=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}\\ &=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}} \end{array}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier $n \ge 1$, on a $f^{(n)} = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.
Exercice 10
Enoncé
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $10^n -1$ est un multiple de $9$.
Corrigé
Initialisation : Si $n=0$ alors $10^0-1=1-1 = 0$ est bien un multiple de $9$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $10^n -1=9k$ soit $10^n=9k+1$.
$$\begin{array}{ll} 10^{n+1} -1 &= 10^n\times 10-1 \\ &= (9k+1) \times 10 – 1 \\ &= 9 \times 10k + 10 – 1 \\ &=9 \times 10k + 9 \end{array}$$
Par conséquent $10^{n+1}-1$ est bien un multiple de $9$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $10^n -1$ est un multiple de $9$.
Exercice 11
Enoncé
On considère les propositions suivantes :
$P(n)$ : « $4^n-1$ est divisible par $3$ »
$Q(n)$ : « $4^n+1$ est divisible par $3$ »
Montrer que les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.
Montrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb N$.
Que peut-on dire pour $Q(n)$?
Corrigé
Pour $P(n)$ : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : « $4^n-1$ est divisible par $3$ ». Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n-1 = 3k$ soit $4^n = 1+3k$. Par conséquent : $$\begin{array}{ll} 4^{n+1} -1&= 4^n\times 4 -1\\ &= 4(1+3k) -1\\ &=4 + 3\times 4k – 1\\ &=3+3\times 4k \end{array}$$ Donc $4^{n+1}-1$ est bien divisible par $3$. $\quad$ Pour $Q(n)$ : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $4^n+1$ est divisible par $3$ ». Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n+1=3k$ soit $4^n=3k-1$. Par conséquent : $$\begin{array}{ll} 4^{n+1}+1 &= 4^n\times 4 + 1 \\ &= 4(3k-1)+1 \\ &= 3 \times 4k – 4 + 1\\ &= 3\times 4k – 3 \end{array}$$ Donc $4^n+1$ est divisible par $3$ ». $\quad$ Les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires. $\quad$
Regardons si $P(0)$ est vraie : $4^0-1 = 1 – 1 = 0$ est bien divisible par $3$. La propriété est donc vraie au rang $0$. Puisqu’elle est également héréditaire, la propriété est vraie pour tout $n \in \N$. $\quad$
Regardons si $Q(0)$ est vraie : $4^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. $Q(0)$ est fausse. D’une manière générale : $4 \equiv 1~[3]$ donc $4^n \equiv 1^n \equiv 1~[3]$ Par conséquent $4^n+1 \equiv 2~[3]$. La propriété $Q(n)$ bien qu’héréditaire n’est jamais vraie.
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16