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Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Nouvelle Calédonie
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On appelle suite de Fibonacci la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\), \(u_1=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}.\]On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

 

    1. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu'à \(u_{10}\).
    2. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de \(u_{n}\) et \(u_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\)?
  1. On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n=u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(v_{n+1} = -v_n\).
    2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1} = \left (-1\right )^{n-1}.\]
    3. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.

 

Partie B


On considère la matrice \(F=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(F^2\) et \(F^3\). On pourra utiliser la calculatrice.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[F^n = \begin{pmatrix} u_{n+1} & u_n \\ u_n & u_{n-1} \end{pmatrix}\]
    1. Soit \(n\) un entier naturel non nul. En remarquant que \(F^{2n+2} = F^{n+2}\times F^{n}\), démontrer que \[u_{2n+2} =u_{n+2}\times u_{n+1}+ u_{n+1}\times u_n.\]
    2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[u_{2n+2} = u_{n+2}^2 - u_n^2.\]
  3. On donne \(u_{12}=144\). Démontrer en utilisant la question 3. qu'il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l'une étant égale à 12. Donner la longueur des deux autres côtés.

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On appelle suite de Fibonacci la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\), \(u_1=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}.\]On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

 

    1. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu'à \(u_{10}\).
    2. On a :
      \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_3=2\), \(u_4=3\), \(u_5=5\), \(u_6=8\), \(u_7=13\), \(u_8=21\), \(u_9=34\) et \(u_{10}=55\)
      \(\quad\)
    3. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de \(u_{n}\) et \(u_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\)?
    4. Il semblerait que pour tout entier naturel \(n\) le PGCD de \(u_n\) et de \(u_{n+1}\) soit égal à \(1\).
      \(\quad\)
  1. On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n=u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(v_{n+1} = -v_n\).
    2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
      \(\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
      &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
      &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
      &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}\)
      Or, \(u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \iff u_{n-1}=u_{n+1}-u_n\).
      Par conséquent \(v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n\).
      \(\quad\)
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[u_n^2 - u_{n+1}\times u_{n-1} = \left (-1\right )^{n-1}.\]
    4. La suite \(\left(v_n\right)\) est donc géométrique de raison \(-1\) et de premier terme \(v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1\).
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) non nul on a \(v_n=(-1)^{n-1}\).
      Par conséquent \({u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}\).
      \(\quad\)
    5. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
    6. Soit \(n\) un entier naturel \(n\) non nul.
      Si \(n\) est impair alors \(n-1\) est pair et
      \({u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1\)
      \(\iff u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1\)
      D’après le théorème de Bezout les nombres \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont premiers entre eux.
      \(\quad\)
      Si \(n\) est pair alors \(n-1\) est impair et
      \({u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1\)
      \(\iff -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1\)
      \(\iff -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1\)
      D’après le théorème de Bezout les nombres \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont premiers entre eux.
      La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel \(n\) non nul.
      De plus le PGCD de \(0\) et \(1\) est \(1\). La conjecture est également vraie pour \(n=0\).
      La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel \(n\).
      \(\quad\)

 

Partie B


On considère la matrice \(F=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(F^2\) et \(F^3\). On pourra utiliser la calculatrice.
  2. On a \(F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) et \(F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\).
    \(\quad\)
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[F^n = \begin{pmatrix} u_{n+1} & u_n \\ u_n & u_{n-1} \end{pmatrix}\]
  4. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si \(n=1\) alors \(F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}\).
    La propriété est vraie au rang \(1\).
    \(\quad\)
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\), c’est à dire \(F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}\).
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n+1\), soit \(F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}\).
    \(\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
    &=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}\)
    La propriété est vraie au rang \(n+1\).
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(1\) et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}\).
    \(\quad\)
    1. Soit \(n\) un entier naturel non nul. En remarquant que \(F^{2n+2} = F^{n+2}\times F^{n}\), démontrer que \[u_{2n+2} =u_{n+2}\times u_{n+1}+ u_{n+1}\times u_n.\]
    2. Pour tout entier naturel \(n\) on a \(u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\) soit \(u_{n+1}=u_{n+2}-u_n\)
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a :
      \(\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
      &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
      &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
      &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}\)
      \(\quad\)
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[u_{2n+2} = u_{n+2}^2 - u_n^2.\]
    4. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
      \(F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n\).
      Par conséquent :
      \(\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}\)
      En identifiant les coefficients de la \(2\)ieme ligne, \(1^{\text{ère}}\) colonne on obtient \(u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n\).
      \(\quad\)
  5. On donne \(u_{12}=144\). Démontrer en utilisant la question 3. qu'il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l'une étant égale à 12. Donner la longueur des deux autres côtés.
  6. D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \({u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2\)
    La solution de l’équation \(2n+2=12\) est \(n=5\).
    Par conséquent :
    \({u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2\)
    \(\iff 13^2=144+5^2\)
    \(\iff 13^2=12^2+5^2\)
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent \(5\), \(12\) et \(13\) unités est rectangle.
    \(\quad\)

 

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