DM 01 Spécialité Maths TS

Un premier échauffement ?
Le sujet en pdf
Exercice 1

Polynômes ...

On appelle polynôme de degré $n$ une fonction qui peut s'écrire sous la forme $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$$ avec $a_n\neq 0$ Un polynôme de degré $n$ est donc entièrement déterminé par la donnée de ses $n+1$ coefficients. L'objectif de l'exercice est de montrer sur deux exemples que cela revient à connaitre $n+1$ points qui appartiennent à la courbe représentant cette fonction polynôme.
  1. Déterminer la fonction polynôme de degré 1 (c'est-à-dire la fonction affine $f(x)=ax+b$) dont la courbe représentative passe par les 2 points de coordonnées respectives (-2;4) et (3;1).
  2. On veut déterminer la fonction polynôme de degré 2 s'écrivant $f(x)=ax^2+bx+c$ telle que les 3 points de coordonnées respectives (-1;-12), (1; 4) et (3;-4) appartiennent à la parabole qui la représente.
    1. Justifier que le triplet $(a;b;c)$ doit être solution du système : $$\left\lbrace \begin{array}{ll} a-b+c&=-12~\\ a+b+c&=4\\ 9a+3b+c&= -4 \end{array} \right. $$
    2. Résoudre ce système et en déduire l'expression de la fonction $f$.
Exercice 2

Une fonction ...

On a dessiné ci-dessous la trajectoire d'un skieur. La tangente au point $A(1; 40)$ est horizontale. Il en est de même pour la tangente au point B d'abscisse 2,5. Un photographe $P$ est situé sur la trajectoire du skieur. Son ordonnée est 100. Le but de l'exercice est de modéliser cette trajectoire par une fonction du troisième degré définie sur $[0; 4]$ que l'on notera $f$. On cherche donc à déterminer $a, b, c$, et $d$ tels que $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Ensuite, nous chercherons à déterminer l'abscisse du point $P$.
skieur

  1. Montrer que $d = 0$.
  2. En utilisant les données, écrire un système d'inconnues $a, b$ et $c$.
  3. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0; 4]$.
  5. En déduire que l'équation $f(x) = 100$ admet une solution unique sur l'intervalle $[2, 5; 4]$ puis en donner une valeur approchée au centième à l'aide de la calculatrice.