Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2013.

Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$:

    1. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
    2. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
    3. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
    4. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
    1. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 0.
    2. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $(-1)$.
    3. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 1.
    4. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 2.
  1. Dans le repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$:
    1. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
    2. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
    3. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
    4. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
    1. $\vec{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    2. $\vec{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    3. $\vec{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    4. $\vec{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    1. $\vec{AL}=\frac12\vec{AH} + \frac12\vec{AF}$.
    2. $\vec{AL}=\frac13\vec{AK}$.
    3. $\vec{ID}=\frac12\vec{IJ}$.
    4. $\vec{AL}=\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AD}+\frac23\vec{AE}$.

       

 


Correction de l'Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$:

    1. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
    2. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
    3. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
    4. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
  1. Les plans $(AEC)$ et $(IEC)$ sont confondus. J n’appartient pas à $(AEC)$. Réponse b
    1. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 0.
    2. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $(-1)$.
    3. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 1.
    4. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à 2.
  2. $\vec{AF}.\vec{BG} = \left(\vec{AB}+\vec{BF} \right).\left(\vec{BC}+\vec{CG}\right)$ $=\left(\vec{AB}+\vec{AE} \right).\left(\vec{AD}+\vec{AE}\right)$
    $\vec{AF}.\vec{BG} = \vec{AB}.\vec{AD} + \vec{AB}.\vec{AE} + \vec{AE}.\vec{AD} + \vec{AE}.\vec{AE}$ $=AE^2=1$. Réponse c
  3. Dans le repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$:
    1. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
    2. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
    3. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
    4. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
  4. $\vec{AF}(1;0;1)$ et $\vec{AH}(0;1;1)$ sont $2$ vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan $\mathcal{P}$. Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces $2$ vecteurs soit nul.
    $A(0;0;0) \in \mathcal{P}$ : ce ne peut donc pas être l’équation a.
    Dans l’équation b : le vecteur normal est $\vec{n}(1;-1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AF} = 1 + 1 =2$
    Dans l’équation c : le vecteur normal est $\vec{n}(-1;1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AH} = 1 + 1 =2$
    Dans l’équation d : le vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Et $\vec{n}.\vec{AF} = 1 – 1 = 0$ et $\vec{n}.\vec{AH} = 1 – 1 = 0$. Réponse d
    1. $\vec{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    2. $\vec{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    3. $\vec{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    4. $\vec{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
  5. Un vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Il faut donc que le vecteur choisi soit colinéaire à $\vec{n}$.
    Or $\vec{EC}(1;1;-1)$. $\vec{EL}$ et $\vec{EC}$ sont colinéaires. Réponse b
    $~$
    1. $\vec{AL}=\frac12\vec{AH} + \frac12\vec{AF}$.
    2. $\vec{AL}=\frac13\vec{AK}$.
    3. $\vec{ID}=\frac12\vec{IJ}$.
    4. $\vec{AL}=\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AD}+\frac23\vec{AE}$.

Déterminons les coordonnées de $L$.
Une équation paramétrique de $(EC)$ est :
$\left\{ \begin{array}{l} x=t \\\\ y=t \qquad t \in \mathbb R \\\\z = 1 -t \end{array} \right.$
Injectons ces équations dans l’équation de $\mathcal{P}$ : $t+t-1+t=0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$. Réponse d
$~$


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

Partie B

On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples.

 

Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

  1. On interroge un étudiant au hasard. On note:
    • $A$ l'évènement «l'étudiant répond $A$ »,
    • $B$ l'évènement «l'étudiant répond $B$ »,
    • $C$ l'évènement «l'étudiant répond $C$ »,
    • $R$ l'évènement «l'étudiant connait la réponse »,
    • $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
    1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
    2. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
    3. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
  2. Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
    1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
    2. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.
    3. Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l'estimation de $p$.
      En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de $r$
    4. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
      1. Donner les paramètres de cette loi normale.
      2. Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à $10^{-2}$ près. On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c .

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

$$\begin{array}{ll}p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}& \Leftrightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f-p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}}\\&\Leftrightarrow -f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le -p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} – f\\&\Leftrightarrow f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}\end{array}$$

Partie B



On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples.

 

 

Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

  1. On interroge un étudiant au hasard. On note:
    • $A$ l'évènement «l'étudiant répond $A$ »,
    • $B$ l'évènement «l'étudiant répond $B$ »,
    • $C$ l'évènement «l'étudiant répond $C$ »,
    • $R$ l'évènement «l'étudiant connait la réponse »,
    • $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
    1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
    2. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
    3. D’après la propriété des probabilités totales :
      $$p(A) = r +(1-r) \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}(1+2r)$$
      $~$
    4. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
    5. $p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)} = \dfrac{r}{\dfrac{1}{3}(1+2r)} = \dfrac{3r}{1+2r}$
  2. Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
    1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

      • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
      • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

    3. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l'estimation de $p$.
      En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de $r$.
    4. La fréquence observée est $f = \dfrac{240}{400} = 0,6$.
      Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ est donc :
      $$I_{400} = \left[0,6 – \dfrac{1}{\sqrt{400}};0,6+\dfrac{1}{\sqrt{400}} \right] = [0,55;0,65]$$
      Par conséquent :
      $0,55 \le \dfrac{1}{3}(1+2r) \le 0,65$
      $\Leftrightarrow 1,65 \le 1+2r \le 1,95$
      $\Leftrightarrow 0,65 \le 2r \le 0,95$
      $\Leftrightarrow 0,325 \le r \le 0,475$
      $~$
    5. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
      1. Donner les paramètres de cette loi normale.
      2. Si $r=0,4$ alors $p=0,6$
        Par conséquent $E(X) = np = 240$ et $V(X) = np(1-p) = 96 = \sigma^2$
        X suit donc la loi normale $\mathcal{N}(240;96)$
      3. Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à $10^{-2}$ près. On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c .
      4. 2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

        $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 


Exercice 3   5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

  1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
  2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
  3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\] et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ du plan.

    1. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
    2. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
  1. On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\text{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).
    Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
  2. Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
    1. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
    2. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$.
      On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
      Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
      En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

  1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
    • En $+\infty$:
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
    • En $-\infty$: on écrit $f(x) = (x + 1)\text{e}^x=f(x) = x \text{e}^x+ \text{e}^x$
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
  2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
  3. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$. Elle est donc également dérivable sur $\mathbb R$.
    $f=uv$, donc $f'=u'v+v'u$.
    $f'(x)=\text{e}^x+(x+1)\text{e}^x=(x+2)\text{e}^x$.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. $f(-2)=-\text{e}^{-2}$

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\] et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ du plan.

    1. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
    2. $g_m(x)=0 \Leftrightarrow x+1=m\text{e}^{-x} \Leftrightarrow (x+1)\text{e}^{x} = m \Leftrightarrow f(x) = m$
    3. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
    4. D’après le tableau de variations :
      Si $m > 0$, l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution
      Si $m\in [0;-\text{e}^{-2}]$, l’équation possède $2$ solutions
      Si $m = -\text{e}^{-2}$, l’équation possède une solution
      Si $m < -\text{e}^{-2}$, l’équation ne possède pas de solution
      $~$
  1. On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\text{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).
    Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
  2. La courbe $1$ n’a pas de point commun avec l’axe des abscisses. Donc $m <-\text{e}^{-2}$.
    Par conséquent $m=-\text{e}$.
    Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $2$. Cela n’est possible que pour $m=0$.
    La courbe $3$ correspond donc à $m=e$
    $~$
  3. Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
  4. $g_m(x)-(x+1) = -m\text{e}^{-x}$. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $m$.
    Si $m > 0$, alors la droite est au-dessus de la courbe.
    Si $m = 0$, la courbe et la droite sont confondues.
    Si $m < 0$, alors la droite est au-dessous de la courbe.
    $~$
    1. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe 2.
    2. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$.
      On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
      Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.
      En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
    3. $\mathcal{A}(a) = \displaystyle \int_0^a \left(x+1+\text{e}\times \text{e}^{-x} – (x+1- \text{e} \times \text{e}^{-x}) \right) \text{d}x$ $= \displaystyle\int_0^a 2\text{e}\times \text{e}^{-x} \text{d}x$ $=\left[-2\text{e} \times \text{e}^{-x} \right]_0^a$ $=-2\text{e} \times \text{e}^{-a} + 2\text{e}$ $=2\text{e} – 2\text{e}^{1-a}$.
      Par conséquent $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \mathcal{A}(a) = 2\text{e}$
      $~$

 


 

Exercice 4 5 points

Commun ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels par:
\[ u_0=0 ; v_0=1 , \text{et}  \left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\dfrac{u_n+v_n}{2}\\ v_{n+1}&=&\dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{array} \right.\]
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

  1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
  2. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& u,v,w \text{ des nombres réels}\\ & N \text{ et } k \text{ des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& u \text{ prend la valeur } 0\\ & v \text{ prend la valeur } 1\\ \text{Début de l'algorithme :}& \\& \text{Entrer la valeur de } N
    \\&\text{Pour } k \text{ variant de 1 à } N\\ & w \text{ prend la valeur } u \\ & u \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ & v \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\ & \text{ Afficher } u\\ & \text{ Afficher } v\\  \text{ Fin de l'algorithme } &\\\hline \end{array} $$
    1. On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
    2. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k & w & u & v \\ \hline 1& & & \\ \hline 2& & & \\ \hline \end{array}$$
    3. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
  3. Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix} u_n\\v_n \end{pmatrix}$ et la matrice $A$ par $A=\begin{pmatrix} \frac12&\frac12\\\frac13&\frac23 \end{pmatrix}$.
    1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
    2. Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
  4. On définit les matrices $P$, $P'$ et $B$ par $P = \begin{pmatrix} \frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65 \end{pmatrix}$, $P'=\begin{pmatrix} \frac12&-\frac12\\\frac12&\frac13 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\frac16 \end{pmatrix}$.
    1. Calculer le produit $PP'$.
      On admet que $P'BP=A$.
      Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P'B^nP$.
    2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$.
      En déduire l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
    1. Montrer que $X_n=\begin{pmatrix} \frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\ \frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
      En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
    2. Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

 

Exercice 4 5 points

Commun ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels par:
\[ u_0=0 ; v_0=1 , \text{et} \left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\dfrac{u_n+v_n}{2}\\ v_{n+1}&=&\dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{array} \right.\]
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

  1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
  2. $u_1=\dfrac{0+1}{2} = 0,5$ $\qquad v_1 = \dfrac{0 + 2\times 1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $~$
  3. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& u,v,w \text{ des nombres réels}\\ & N \text{ et } k \text{ des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& u \text{ prend la valeur } 0\\ & v \text{ prend la valeur } 1\\ \text{Début de l'algorithme :}& \\& \text{Entrer la valeur de } N
    \\&\text{Pour } k \text{ variant de 1 à } N\\ & w \text{ prend la valeur } u \\ & u \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ & v \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\ & \text{ Afficher } u\\ & \text{ Afficher } v\\ \text{ Fin de l'algorithme } &\\\hline \end{array} $$
    1. On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
    2. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k & w & u & v \\ \hline 1& 0 & 0,5000 & 0,667 \\ \hline 2& 0,5000 & 0,5833 & 0,6111 \\ \hline \end{array}$$
    3. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
    4. Les valeurs affichées correspondent à $u_N$ et $v_N$.
      $~$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix} u_n\\v_n \end{pmatrix}$ et la matrice $A$ par $A=\begin{pmatrix} \frac12&\frac12\\\frac13&\frac23 \end{pmatrix}$.
    1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
    2. $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}v_n$
      $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}v_n$
      Donc $X_{n+1} = AX_n$
      $~$
    3. Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
    4. Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0X_0 = I_2X_0=X_0$. La propriété est vraie au rang $0$.
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $X_n = A^nX_0$
      Alors $X_{n+1} = AX_n = A\times A^nX_0 = A^{n+1}X_0$.
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $X_n = A^nX^0$
      $~$
  5. On définit les matrices $P$, $P'$ et $B$ par $P = \begin{pmatrix} \frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65 \end{pmatrix}$, $P'=\begin{pmatrix} \frac12&-\frac12\\\frac12&\frac13 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\frac16 \end{pmatrix}$.
    1. Calculer le produit $PP'$.
      On admet que $P'BP=A$.
      Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P'B^nP$.
    2. $PP’ = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
      Initialisation : Si $n=0$ alors $P’B^0P = P’P = I_2 =A^0$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = P’B^nP$
      Alors $A^{n+1} = A\times A^n = P’BP\times P’B^nP = P’B^{n+1}P$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
      Par conséquent, pour tout entier $n$, $A^n = P’B^nP$.
      $~$
    3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$.
      En déduire l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
    4. On a donc $A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5}&- \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\- \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
      $~$
    1. Montrer que $X_n=\begin{pmatrix} \frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\ \frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
      En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
    2. $X_n = A^n \begin{pmatrix}0\\\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{2}{ 5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
      $~$
      Par conséquent $u_n = – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $ et $v_n = – \dfrac{2}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $
      $~$
    3. Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    4. $-1 < \dfrac{1}{6} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{6^n} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n = \dfrac{3}{5}$

 


 

Exercice 4 5 points

Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par
\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

  1. Donner $a_0$ et $b_0$.
  2. Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
  3. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& A \text{ et } B \text{ sont des nombres réels}\\ & K \text{ et } N \text{ sont des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 1\\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}& \\ \text{Entrer la valeur de } N&
    \text{Pour } K \text{ variant de 1 à } N\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } \dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3} \\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } \dfrac{B}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\  & \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
    1. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
    2. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline K & A & B\\\hline 1& & \\\hline 2& & \\\hline \end{array}$$
    3. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
    En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$ ? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
    1. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
      \[\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.\]
      Montrer que pour tout entier naturel $n$,
      \[\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.\]
    2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
      \[u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.\]
      En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
    3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.

 

Exercice 4 5 points

Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par
\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

  1. Donner $a_0$ et $b_0$.
  2. On a $a_0=1$ et $b_0=1$.
  3. Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
  4. Comme $ \left|z_0\right| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, on a $z_1=\dfrac{z_0+ \left|z_0\right|}{3}=\dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}+\dfrac13i$. On a alors $a_1=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ et $b_1=\dfrac13$.
  5. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& A \text{ et } B \text{ sont des nombres réels}\\ & K \text{ et } N \text{ sont des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 1\\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}& \\ \text{Entrer la valeur de } N&
    \text{Pour } K \text{ variant de 1 à } N\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } \dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3} \\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } \dfrac{B}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\ & \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
    1. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
    2. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline K & A & B\\\hline 1 & 0,8047 & 0,3333\\ \hline 2 & 0,5586 & 0,1111\\\hline \end{array}$$
    3. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
    4. Plus généralement, pour une valeur de $N$ saisie par l'utilisateur, l'algorithme affichera la valeur de $a_N$.

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
    En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
  2. On a, pour tout $n\in\mathbb N$, $z_{n+1}= a_{n+1}+ \text{i}b_{n+1}$ et $z_{n+1}=\dfrac{a_n+ \text{i}b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3}$, donc: \[ a_{n+1}=\dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3} \text{ et }b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}. \]
  3. Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$ ? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
  4. La suite $(b_n)$ est géométrique de premier terme $b_0=1$ et de raison $\frac13$, par conséquent, pour tout $n\in\mathbb N$: $b_n = \left(\frac13\right)^n$. Comme $- 1 < \frac{1}{3} < 1 $, on en déduit que $(b_n)$ converge vers 0.
    1. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
      \[\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.\]
      Montrer que pour tout entier naturel $n$,
      \[\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.\]
    2. $n\in\mathbb N$, $ \left|z_{n+1}\right|=\left|\dfrac{z_n+ \left|z_n\right|}{3} \right| =\frac{1}{3} \left|z_n+ \left|z_n\right|\right|\leqslant\frac{1}{3}\left( \left|z_n\right|+ \left|z_n \right|\right)$, c'est-à -dire: $ \left|z_{n+1}\right|\leqslant \dfrac{2 \left|z_n\right|}{3}$.
    3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
      \[u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.\]
      En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
    4. Initialisation : $u_0 = \sqrt{2} \le 1 \times \sqrt{2}$
      La propriété est vraie au rang $0$.
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
      Alors $u_{n+1} = |z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
      Par conséquent $u_{n+1} \le \dfrac{2}{3}u_n \le \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$.
      Donc $u_{n+1} \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^{n+1} \sqrt{2}$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
    5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
    6. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
      $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2} = 0$
      $~$
      De plus on a : $0 \le u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \sqrt{2}$.
      D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
      $\quad$

 


Annexe 1



Exercice 3

 


À rendre avec la copie

 

Annexe 2



Exercice 2

À rendre avec la copie

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline {}{E12}& {}{(1)}\\ \hline & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K \\ \hline 1 & t & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 \\ \hline 2 & 235 & 0,305 & 0,309 & 0,312 & 0,316 & 0,319 & 0,323 & 0,327 & 0,330 & 0,334 & 0,338 \\ \hline 3 & 236 & 0,342 & 0,345 & 0,349 & 0,353 & 0,357 & 0,360 & 0,364 & 0,368 & 0,372 & 0,376 \\ \hline 4 & 237 & 0,380 & 0,384 & 0,388 & 0,391 & 0,395 & 0,399 & 0,403 & 0,407 & 0,411 & 0,415 \\ \hline 5 & 238 & 0,419 & 0,423 & 0,427 & 0,431 & 0,435 & 0,439 & 0,443 & 0,447 & 0,451 & 0,455 \\ \hline 6 & 239 & 0,459 & 0,463 & 0,467 & 0,472 & 0,476 & 0,480 & 0,484 & 0,488 & 0,492 & 0,496 \\ \hline 7 & 240 & 0,500 & 0,504 & 0,508 & 0,512 & 0,516 & 0,520 & 0,524 & 0,528 & 0,533 & 0,537 \\ \hline 8 & 241 & 0,541 & 0,545 & 0,549 & 0,553 & 0,557 & 0,561 & 0,565 & 0,569 & 0,573 & 0,577 \\ \hline 9 & 242 & 0,581 & 0,585 & 0,589 & 0,593 & 0,597 & 0,601 & 0,605 & 0,609 & 0,612 & 0,616 \\ \hline 10 & 243 & 0,620 & 0,624 & 0,628 & 0,632 & 0,636 & 0,640 & 0,643 & 0,647 & 0,651 & 0,655 \\ \hline 11 & 244 & 0,658 & 0,662 & 0,666 & 0,670 & 0,673 & 0,677 & 0,681 & 0,684 & 0,688 & 0,691 \\ \hline 12 & 245 & 0,695 & 0,699 & 0,702 & 0,706 & 0,709 & 0,713 & 0,716 & 0,720 & 0,723 & 0,726 \\ \hline 13 & 246 & 0,730 & 0,733 & 0,737 & 0,740 & 0,743 & 0,746 & 0,750 & 0,753 & 0,756 & 0,759 \\ \hline 14 & 247 & 0,763 & 0,766 & 0,769 & 0,772 & 0,775 & 0,778 & 0,781 & 0,784 & 0,787 & 0,790 \\ \hline 15 & 248 & 0,793 & 0,796 & 0,799 & 0,802 & 0,804 & 0,807 & 0,810 & 0,813 & 0,815 & 0,818 \\ \hline 16 & 249 & 0,821 & 0,823 & 0,826 & 0,829 & 0,831 & 0,834 & 0,836 & 0,839 & 0,841 & 0,844 \\ \hline 17 & 250 & 0,846 & 0,849 & 0,851 & 0,853 & 0,856 & 0,858 & 0,860 & 0,863 & 0,865 & 0,867 \\ \hline 18 & 251 & 0,869 & 0,871 & 0,874 & 0,876 & 0,878 & 0,880 & 0,882 & 0,884 & 0,886 & 0,888 \\ \hline 19 & 252 & 0,890 & 0,892 & 0,893 & 0,895 & 0,897 & 0,899 & 0,901 & 0,903 & 0,904 & 0,906 \\ \hline 20 & 253 & 0,908 & 0,909 & 0,911 & 0,913 & 0,914 & 0,916 & 0,917 & 0,919 & 0,921 & 0,922 \\ \hline 21 & 254 & 0,923 & 0,925 & 0,926 & 0,928 & 0,929 & 0,931 & 0,932 & 0,933 & 0,935 & 0,936 \\ \hline 22 & 255 & 0,937 & 0,938 & 0,940 & 0,941 & 0,942 & 0,943 & 0,944 & 0,945 & 0,947 & 0,948 \\ \hline 23 & 256 & 0,949 & 0,950 & 0,951 & 0,952 & 0,953 & 0,954 & 0,955 & 0,956 & 0,957 & 0,958 \\ \hline 24 & 257 & 0,959 & 0,960 & 0,960 & 0,961 & 0,962 & 0,963 & 0,964 & 0,965 & 0,965 & 0,966 \\ \hline 25 & 258 & 0,967 & 0,968 & 0,968 & 0,969 & 0,970 & 0,970 & 0,971 & 0,972 & 0,972 & 0,973 \\ \hline 26 & 259 & 0,974 & 0,974 & 0,975 & 0,976 & 0,976 & 0,977 & 0,977 & 0,978 & 0,978 & 0,979 \\ \hline 27 & 260 & 0,979 & 0,980 & 0,980 & 0,981 & 0,981 & 0,982 & 0,982 & 0,983 & 0,983 & 0,984 \\ \hline \end{array}$$

$(1)$ en $E12$ on tape la formule  =LOI.NORMALE($ A12+E$ 1;240;RACINE(96);VRAI)

Extrait d'une feuille de calcul

Exemple d'utilisation: au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre 0,706 correspond à $P(X\leqslant 245,3 )$.