Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018
Exercice 1 4 points
Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\] où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000.
- Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$.
- Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
- Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
- Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
-
- Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1er janvier 2018.
- Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)
Correction de l'exercice 1 (4 points)
Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\] où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000.
- Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$. $g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
- Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
- Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$. La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
- Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x=0$
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\text{e}^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\text{e}^{-t/4}$ (fonction positive également).
La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
$\quad$
Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
$\quad$
Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
$\quad$ -
- Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1er janvier 2018. On a $g(18)\approx 0,93$.
- Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.) On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
Au 1ier janvier 2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
$\quad$
Donc $n=1~000 \geq 30$, $np=930\geq 5$ et $n(1-p)=70\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
$\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
&\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
$\quad$
Or
$\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\iff \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
&\iff k+1=8 \\
&\iff k=7
\end{align*}$
Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-\alpha t}}$
$g(10)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}$
Or
$\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \iff \dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
&\iff 64\left(1+7\text{e}^{-10\alpha}\right)=100 \\
&\iff 64+448\text{e}^{-10\alpha}=100 \\
&\iff 448\text{e}^{-10\alpha}=36 \\
&\iff \text{e}^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
&\iff -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
&\iff \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
\end{align*}$
$\quad$
Exercice 2 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O}, \vec{u}, \vec{v}\right)$. On prendra pour unité graphique le centimètre.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
- On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
- Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
- Faire une figure et placer les points A et B.
- Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}\right)$.
- On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
- Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
- En déduire une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vec{u}, \vec{\text{OF}}\right)$.
- Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
- En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\]
- Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\] et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\] Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
Correction de l'exercice 2 (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O}, \vec{u}, \vec{v}\right)$. On prendra pour unité graphique le centimètre.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
- On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
- Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon. $\left|1+\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$.
- Faire une figure et placer les points A et B.
- Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}\right)$. On a :
Donc $z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=2\text{e}^{\text{i} \pi/3}$
$z_B=2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \pi/2}$.
$\quad$
On a $\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2$.
Les points $A$ et $B$ appartiennent donc au cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\text{e}^{\text{i}\pi/2}}{2\text{e}^{\text{i} \pi/3}} \\
&=\text{e}^{\text{i}\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
&=\text{e}^{\text{i} \pi/6}
\end{align*}$
Une mesure de l’angle $\left(\vec{OA};\vec{OB}\right)$ est $\dfrac{\pi}{6}$ rad.
$\quad$ - On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
- Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
- En déduire une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vec{u}, \vec{\text{OF}}\right)$. Voir figure
- Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique. Par conséquent $\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)$.
- En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\] $z_F=z_A+z_B=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)$.
$\quad$
L’affixe de $\vec{OA}$ est $z_{\vec{OA}}=z_A$.
L’affixe de $\vec{BF}$ est $z_{\vec{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A$.
Par conséquent $\vec{OA}=\vec{BF}$ et le quadrilatère $OAFB$ est un parallélogramme.
De plus $OA=OB$ puisque $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
$OAFB$ est donc un losange.
$\quad$
Une mesure de l’angle $\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$ rad.
$\quad$
On a $\left(\vec{u};\vec{OF}\right)=\left(\vec{u};\vec{OA}\right)+\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)$
Une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vec{OF}\right)$ est donc $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}$ rad.
$\quad$
Donc
$\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
&=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
&=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
\end{align*}$
Par conséquent $z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\text{e}^{5\text{i}\pi/12}$.
$\quad$
On a donc : $\sqrt{8+4\sqrt{3}}\text{e}^{5\text{i}\pi/12}=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)$
$\iff \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\text{i}\pi}{12}\right)+\text{i} \sin\left(\dfrac{5\text{i}\pi}{12}\right)\right)=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)$
Donc $\cos\left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$.
$\quad$ - Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\] et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\] Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse. Comparons les carrés de ces deux nombres.
Donc $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \iff z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0$
On s’intéresse à l’équation $z^2-2z+4=0$
$\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0$
L’équation possède donc $2$ racines complexes :
$z_1=\dfrac{2-\text{i}\sqrt{12}}{2}=1-\text{i}\sqrt{3}$ et $z_2=\overline{z_1}=1+\text{i}\sqrt{3}$.
$\quad$
Ensuite $z^2+4=0 \iff z^2=-4 \iff z=-2\text{i} \text{ ou } z=2\text{i}$.
$\quad$
Les solutions de $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$ sont donc : $-2\text{i}$ ; $2\text{i}$ ; $1-\text{i} \sqrt{3}$ et $1+\text{i} \sqrt{3}$.
$\quad$
$\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$
et
$\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$.
Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.
Par conséquent : $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
$\quad$
Exercice 3 5 points
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Il est attribué $1,5$ point par réponse correcte.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte.
- Question 1
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ , on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2+ \phantom{3}t\\ y &=& 1 - 3t\\ z &=& \phantom{2 +} 2t \end{array}\right. (t \in \mathbb{R})$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$.
On peut affirmer que :
- Réponse A : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
- Réponse B : la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
- Réponse C : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4 ; -5 ; 4)$.
- Réponse D : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.
- Question 2
Dans le rayon informatique d'une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux. On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d'attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le temps d'attente moyen est de $20$ minutes. Sachant qu'un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est:
- Réponse A : $\text{e}^{-\frac{1}{2}}$
- Réponse B : $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$
- Réponse C : $1- \text{e}^{-\frac{1}{2}}$
- Réponse D : $1 - \text{e}^{-10\lambda}$
- Question 3
Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d'une balle doit être compris entre $63,5$ mm et $66,7$ mm. On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres. On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d'écart type $\sigma$. On appelle $P$ la probabilité qu'une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme. L'usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième, permettant d'atteindre cet objectif est:
- Réponse A : 0,69
- Réponse B : 2,58
- Réponse C : 0,62
- Réponse D : 0,80
- Question 4
La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie par : \[f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}.\]
- La valeur exacte du réel positif $a$ tel que la droite d'équation $x = a$ partage le domaine hachuré en deux domaines d'aires égales est :
- Réponse A : $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
- Réponse B : $\sqrt{\sqrt{5} - 1}$
- Réponse C : $\ln 5 - 0,5$
- Réponse D : $\dfrac{10}{9}$
Correction de l'exercice 3 (5 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Il est attribué $1,5$ point par réponse correcte.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte.- Question 1
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ , on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2+ \phantom{3}t\\ y &=& 1 - 3t\\ z &=& \phantom{2 +} 2t \end{array}\right. (t \in \mathbb{R})$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$.
On peut affirmer que :
- Réponse A : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
- Réponse B : la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
- Réponse C : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4 ; -5 ; 4)$.
- Réponse D : la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.
- Question 2
Dans le rayon informatique d'une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux. On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d'attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le temps d'attente moyen est de $20$ minutes. Sachant qu'un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est:
- Réponse A : $\text{e}^{-\frac{1}{2}}$
- Réponse B : $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$
- Réponse C : $1- \text{e}^{-\frac{1}{2}}$
- Réponse D : $1 - \text{e}^{-10\lambda}$
- Question 3
Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d'une balle doit être compris entre $63,5$ mm et $66,7$ mm. On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres. On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d'écart type $\sigma$. On appelle $P$ la probabilité qu'une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme. L'usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième, permettant d'atteindre cet objectif est:
- Réponse A : 0,69
- Réponse B : 2,58
- Réponse C : 0,62
- Réponse D : 0,80
- Question 4
La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie par : \[f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}.\]
- La valeur exacte du réel positif $a$ tel que la droite d'équation $x = a$ partage le domaine hachuré en deux domaines d'aires égales est :
- Réponse A : $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
- Réponse B : $\sqrt{\sqrt{5} - 1}$
- Réponse C : $\ln 5 - 0,5$
- Réponse D : $\dfrac{10}{9}$
- À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$.
- Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
- En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$.
- Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3.
- Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
- Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$.
- Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
- Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
- Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
- À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée.
- En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
- L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$. Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel. $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U \ldots\ldots \\ ~\\ \text{ Tant que } \ldots\\ \hspace{0.6cm} P \gets \ldots\ldots \\ \hspace{0.6cm} U \gets \ldots\ldots \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$
- À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$. Si $a=2,9$.
- Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
- En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
- Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3. On a :
$u_{n+1}=f\left(u_n\right) \iff u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
$\quad$
$\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\iff 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
&\iff \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
Les valeurs possibles de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
$\quad$ - Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
- Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
- Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
- Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
$\quad$
On a bien : $1 \leq u_1 \leq u_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}$.
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
$1\leq u_{n+1} \leq u_n \iff f(1) \leq f\left(u_{n+1}\right) \leq f\left(u_n\right)$
soit $1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.
$\quad$
Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
$\quad$. - Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
- À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
- En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
- L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$. Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel. $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U \ldots\ldots \\ ~\\ \text{ Tant que } \ldots\\ \hspace{0.6cm} P \gets \ldots\ldots \\ \hspace{0.6cm} U \gets \ldots\ldots \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U\gets 3,1 \\ ~\\ \text{ Tant que } U\leq 10^6 \\ \hspace{0.6cm} P \gets P+1 \\ \hspace{0.6cm} U \gets \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2} \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$
Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
$\quad$
- Calculer $u_2$ et $u_3$ .
- On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$.
- On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
- Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$.
- On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$.
- Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$.
- On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels. $$ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}$$
- À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
- Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche « oui ».
- Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
- Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$.
- En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
- Calculer $u_2$ et $u_3$ . On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
- On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
- Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$. Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
- On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$. On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
$\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
&=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
&=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
Or $BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
Donc $u_n=2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$ - Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels. $$ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}$$
- À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme. Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
- Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche « oui ». Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
\hline
0&1&1&1&\text{non}\\
\hline
1&3&6&12&\text{oui}\\
\hline
2&7&28&56&\text{oui}\\
\hline
3&15&120&360&\text{non}\\
\hline
4&31&496&992&\text{oui}\\
\hline
5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
\hline
6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
$\quad$ - Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
- Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$. On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
- En déduire que $u_n$ est un nombre parfait. $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
Par conséquent
$\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
&=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
&=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
&=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
&=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
$\quad$
On a, d’après la question précédente :
$\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
&=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
&=2^{n+1}p_n\\
&=2\times 2^np_n\\
&=2u_n
\end{align*}$
Le nombre $u_n$ est donc parfait.
$\quad$
On a la représentation paramétrique de la droite $(D)$ : $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad t\in \mathbb{R}$.
On a donc :
$x+y+z-3=2+t+1-3t+2t-3=0$.
La représentation paramétrique de la droite $(D)$ vérifie donc l’équation cartésienne du plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse B
$\quad$Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda} = 20 \iff \lambda =\dfrac{1}{20}=0,05$.
On veut calculer :
$P_{(T>20)}(T>30)=P_{(T>20)}(T>20+10)=P(T>10)$ puisque la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Or $P(T>10)=\text{e}{-10\lambda}=\text{e}{-0,5}$.
Réponse A
$\quad$La variable aléatoire $X=\dfrac{D-\mu}{\sigma}=\dfrac{D-65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On veut que :
$\begin{align*} P(63,5 < D <66,7)=0,99&\iff P(-1,6<D-65,1<1,6)=0,99 \\
&\iff P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<\dfrac{D-65,1}{\sigma}<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\iff P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\iff 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
&\iff 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=1,99 \\
&\iff P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,995 \end{align*}$
D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,6}{\sigma} \approx 2576$ donc $\sigma \approx 0,621$.
Réponse C
$\quad$Remarque : Il faut bien penser à vérifier que la valeur trouvée permet d’avoir la probabilité demandée
Remarque 2 : Comme il s’agit d’un QCM, on peut également tester à la calculatrice toutes les valeurs proposées.
$\quad$
On a $f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\times 2x}{x^2+1}$. Ainsi une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=2\ln\left(x^2+1\right)$.
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On veut donc que :
$\begin{align*} \displaystyle \int_0^a f(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^2 f(x)\:\text{d}x &\iff F(a)-F(0)=\dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right) \\
&\iff 2\ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{2\ln(5)}{2} \\
&\iff \ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{\ln(5)}{2} \\
&\iff \ln \left(a^2+1\right)=\ln\left(\sqrt{5}\right) \\
&\iff a^2+1=\sqrt{5} \\
&\iff a^2=\sqrt{5}-1 \\
&\iff a=\sqrt{\sqrt{5}-1} \quad \text{car } a>0\end{align*}$.
Réponse B
$\quad$
Remarque : ici encore, il faut penser à vérifier la valeur trouvée à l’aide de la calculatrice .
Remarque 2 : Il était possible de tester les valeurs proposées et de ne retenir que celle qui permettait d’obtenir le résultat escompté.
$\quad$
Exercice 4 5 points
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\] Soit $a$ un réel positif. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.
Correction de l'exercice 4 5 points
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\] Soit $a$ un réel positif. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.
alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
$\quad$
Si $a=3,1$
alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
Spécialité 5 points
Partie A
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]Partie B
On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.
Annexe à remettre avec la copie : Affichage de l'algorithme pour les premières valeurs de $N$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline N & P & U & S &\text{ Affichage final }\\ \hline 0 &1 &1 &1 &\text{ non}\\ \hline 1 &3 &6 &12 &\text{ oui }\\ \hline 2 &7 & & &\\ \hline 3 &15 & &360 &\\ \hline 4 &31 & &992 & oui\\ \hline 5 &63 & & 6552 &\text{ non }\\ \hline 6 &127 & 8128 & 16256 &\\ \hline \end{array}$$
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Partie A
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]
alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
$\quad$
$AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
$\quad$Partie B
On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.
$2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
$\quad$
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