Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Correction Exercice 3
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Correction de l'exercice 3 (5 points)
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$ cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$ cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_2 = 175$ cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$ cm.
Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
- Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ? On veut donc ici calculer $P(153\leq X_1\leq 177)$
-
- Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre. On calcule ici $P(X_2\geq 170)$
- De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$ m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ? Calculons $P(X_1 \ge 170) = 0,5 – P(165 \le X_1 \le 170) \approx 0,20$
2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$
$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
On appelle $G$ l’événement « la personne choisie mesure plus de $1,70$m ».
On appelle $F$ l’événement « la personne choisie est une femme ».
On peut alors représenter la situation par un arbre pondéré :
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{array}{rl} p(G) &= p(F \cap G) + p\left(\overline{F} \cap G\right) \\ &= 0,52 \times 0,20 + 0,48 \times 0,68 \\ & \approx 0,43
\end{array}$$
$\quad$
Par conséquent :
$$\begin{array}{rl} p_G(F) &= \dfrac{p(G \cap F)}{p(G)} \\ &=\dfrac{0,52 \times 0,20}{0,43} \\ & \approx 0,24
\end{array}$$.
La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle mesure plus de $1,70$ m est donc de $0,24$.
2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$
$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$
Remarque : $153= \mu_1-2\sigma_1$ et $177= \mu_1+ 2\sigma_1$; ainsi un résulat du cours donne $P(\mu_1-2\sigma_1\leq X_1\leq \mu_1+2\sigma_1) \approx 0,9545$
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