Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

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Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$. Soit $z$ un nombre complexe de la forme $x + \text{i}y$, où $x$ et $y$ sont des réels.

  1. Soit $z$ le nombre complexe d'affixe $(1 + \text{i})^4$. L'écriture exponentielle de $z$ est :
    1. $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}$
    2. $4\text{e}^{\text{i}\pi}$
    3. $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$
    4. $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$
  2. L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z = x + \text{i}y$ tels que $|z - 1 + \text{i}| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right|$ a pour équation :
    1. $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$
    2. $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$
    3. $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$
    4. $y = x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
  3. On considère la suite de nombres complexes $\left(Z_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $Z_{0} = 1 + \text{i}$ et $Z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}Z_{n}$. On note $M_{n}$ le point du plan d'affixe $Z_{n}$.
    1. Pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$.
    2. Pour tout entier naturel $n$, le triangle O$M_{n}M_{n + 1}$ est équilatéral.
    3. La suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$ est convergente.
    4. Pour tout entier naturel $n$, un argument de $\dfrac{Z_{n+1} - Z_{n}}{Z_{n}}$ est $\frac{\pi}{2}$.
  4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d'affixes respectives :
    \[Z_{\text{A}}= - 1 - \text{i} \quad ;\quad Z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}\quad \text{et}\quad Z_{\text{C}} = 1 + 5\text{i}.\]
    On pose $Z = \dfrac{Z_{\text{C}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}}$.
    1. $Z$ est un nombre réel.
    2. Le triangle ABC est isocèle en A.
    3. Le triangle ABC est rectangle en A.
    4. Le point $M$ d'affixe $Z$ appartient à la médiatrice du segment [BC].
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